Lemme Fondamental Du Calcul Des Variations

Lemme fondamental du calcul des variations

Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Il énonce que si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], et

$\int_a^b f(x) \, h(x) \,\mathrm dx = 0$

pour toute fonction $h\in C^\infty [a,b]$ avec h(a) = h(b) = 0, alors f(x) est identiquement nulle sur l'intervalle ouvert (a,b).

Plus généralement, ce résultat de ce lemme reste vrai avec $f \$ localement intégrable sur un ensemble ouvert U de $\R^n$ et les fonctions h sont de classe $C^\infty$ et à support compact dans U (La conclusion est changée par « f est nulle presque partout »).

Applications

Ce lemme est utilisé pour prouver que les extrema de la fonctionnelle

$J(y) = \int_{x_0}^{x_1} L(t,y,\dot y) \,\mathrm dt$

sont des solutions faibles de l'équation d'Euler-Lagrange:

${\partial L(t,y,\dot y) \over \partial y} = {\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial \dot y} .$

Références

• Fundamental lemma of calculus of variations sur PlanetMath

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