Lemme d'Urysohn

Lemme d'Urysohn
Le mathématicien Pavel Urysohn donne son nom au lemme de l'article.

Le lemme d'Urysohn est un résultat de topologie, qui établit que pour deux fermés disjoints A et B d'un espace normal X (ou plus généralement d'un espace T4), il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1] qui vaut 1 sur A et 0 sur B. On le considère parfois comme le « premier résultat non trivial sur les espaces topologiques ».[réf. souhaitée]

Ce lemme permit d'étendre aux espaces normaux le théorème de prolongement de Tietze, initialement démontré en 1914 par Heinrich Tietze pour les espaces métriques[1]. Pavel Urysohn trouve une nouvelle démonstration et énonce son lemme un peu plus tard, dans un texte mathématique dont l'objectif est la démonstration des théorèmes sur l'invariance de la dimension d'un espace topologique localement homéomorphe à un espace euclidien.

Sommaire

Énoncés

Il existe un premier énoncé spécifique aux espaces T4 (et dont la réciproque est immédiate) :

Lemme d'Urysohn — Si X est un espace T4 alors, pour tous fermés disjoints A et B de X, il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1], qui vaut 1 sur A et 0 sur B.

Un premier corollaire est que tout espace normal (i.e. T4 et séparé) est complètement régulier.

Un autre corollaire est le suivant[2] :

Ce lemme est aussi utilisé en géométrie différentielle sous la forme suivante[3] :

Approche qualitative

Fragment d'histoire

Une des grandes questions qui se posent au début du XXe siècle en topologie est la classification des différents espaces. Un invariant important pour ce classement est la dimension. Si un espace topologique connexe possède en tout point un ouvert, contenant ce point et homéomorphe à un ouvert d'un espace euclidien, tous les espaces euclidiens ont la même dimension et cette dimension est unique[4]. Si ce résultat est très intuitif : si un espace topologique est de même nature qu'une courbe, ce n'est alors pas un plan, la démonstration est difficile. Depuis Peano, la connaissance d'une fonction continue et surjective de R dans [0, 1]2 illustre un des écueils à éviter, pour trouver des démonstrations rigoureuses.

Heinrich Tietze travaille sur cette question et, dans ce contexte, montre en 1914 que si f est une application continue définie sur un fermé d'un espace métrique, elle est continument prolongeable sur l'espace entier[5]. Il trouve la définition d'espace normal en 1923[6]. Pavel Urysohn, un mathématicien russe, parvient à démontrer le théorème clé de la dimension qu'il publie[7] en 1924. Il retrouve des résultats déjà démontrés par Luitzen Brouwer en 1912, mais qu'Urysohn ne connaissait pas[8]. Cette publication contient le lemme de l'article.

On doit encore à Tietze aussi le théorème de prolongement, qui porte maintenant son nom et dont le lemme de l'article n'est qu'un cas particulier[8]. Jean Dieudonné développe l'usage du théorème en géométrie différentielle et développe simultanément et indépendamment avec Salomon Bochner la notion de partition de l'unité[9] en 1937. Il introduit aussi la définition d'espace paracompact[9] en 1944, elle remplace souvent celle d'espace normal, qui contient trop d'exceptions pathologiques pour être véritablement fertile en topologie algébrique[6].

Démonstration intuitive

Urysohn-function02.jpg

Intuitivement, il n'est pas très difficile d'imaginer une démonstration, se fondant sur la notion d'oscillation d'une fonction. L'oscillation d'une fonction f, définie sur un espace topologique et à valeurs dans un espace métrique, en un point x, est la borne inférieure des diamètres des images des voisinages de x. Si l'oscillation est nulle, la fonction est continue.

On suppose que les deux fermés A et B sont illustrés en rouge et vert sur la figure de droite. On peut définir une fonction f1 qui vaut 1 sur A, 0 sur B et 1/2 partout ailleurs. Cette fonction est illustrée sur le graphique numéroté 1 (le jaune est la couleur milieu entre le rouge et le vert). L'axiome définissant un espace topologique normal montre qu'il existe un ouvert A11 contenant A et tel que son adhérence soit strictement incluse dans le complémentaire de B, car le complémentaire de B est un ouvert contenant A. Il est alors possible de définir la fonction f2 comme valant 1 sur A, 0 sur B 1/2 sur la frontière de A11, 3/4 sur le complémentaire de A dans A11 et 1/4 ailleurs. Cette fonction est représentée dans l'illustration numérotée 2. Cette fois-ci, l'oscillation de la fonction ne dépasse pas 1/4.

En réitérant la démarche, on obtient une fonction f3 dont l'oscillation ne dépasse pas 1/8 puis une fonction (numéroté 3). En prolongeant la démarche, on obtient une fonction fn dont l'oscillation ne dépasse pas 2 -n. Les fonctions deviennent de plus en plus continues, même si aucune ne l'est vraiment. Graphiquement, cela se traduit par le fait que le dégradé de couleur entre A et B est de plus en plus lisse.

La suite (fn) converge uniformément, elle admet donc une limite f car l'intervalle [0, 1] est complet. Cette limite devrait satisfaire les hypothèses du lemme[10].

Usages

On trouve le lemme d'Urysohn dans deux contextes géométriques différents.

Démonstrations topologiques

Lemme d'Urysohn

La démonstration proposée ici s'appuie sur les fractions dyadiques[13].

Soit D l'ensemble fractions dyadiques comprises entre 0 et 1, c'est-à-dire des rationnels de la forme k/2n, n étant un entier positif ou nul et k un entier variant de 0 à 2n. Pour tout r élément de D, on définit un ouvert U(r) tel que :

\forall r \in \mathcal D \quad B \subset U(r) \text{ et }U(r) \cap A = \emptyset
\forall r,s \in \mathcal D\quad r < s \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(s)

On procède pour cela par récurrence. Utilisant la propriété T4 de l'espace topologique, soit U(0) un ouvert tel que B est inclus dans U(0) et l'adhérence de U(0) est incluse dans U(1), où U(1) désigne le complémentaire de A.

Si les U(r) sont construits pour tout r ayant un dénominateur inférieur ou égal à 2n-1, considérons k impair. Par hypothèse de récurrence :

\overline{U({k-1 \over 2^n})} \subset U({k+1 \over 2^n})

Une fois encore, la propriété T4 permet de définir un ouvert U(k/2n) tel que :

\overline{U({k-1 \over 2^n})} \subset U({k \over 2^n}) \subset \overline{U({k \over 2^n})} \subset U({k+1 \over 2^n})

On définit une fonction f de X dans [0, 1] tel que si x est élément de A, f(x) = 1 et sinon :

f(x) = \inf\{r, x \in U(r) \}

Par construction, f est égale à 1 sur A et à 0 sur B et est à valeurs dans [0,1]. Enfin, f est continue en tout point x. En effet, soit ε un réel strictement positif, x un élément de X, s et t deux éléments de D tels que f(x) = r et :

r-\epsilon < s < r < t < r + \epsilon\;

(Si r = 0, on prend s = 0, et si r = 1, on prend t = 1). La différence entre l'ensemble U(t) et l'adhérence de U(s) est un voisinage ouvert de x dont l'image par f est incluse dans [s,t]. (Si r = 0 on prend seulement U(t), et si r = 1, on prend seulement le complémentaire de l'adhérence de U(s)). La démonstration de la continuité de f complète la preuve.

Corollaire

Soit K une partie compacte d'un espace localement compact X. L'objectif est de montrer l'existence d'une fonction f continue, à support compact, qui vaut 1 sur K[14]. Puisque X est localement compact, pour tout point k de K, il existe un ouvert Uk contenant k et dont l'adhérence est compacte. La famille (Uk) forme un recouvrement ouvert du compact K, donc il est possible d'en extraire un sous-recouvrement fini (Ukn). L'union des Ukn est un ouvert U contenant K et dont l'adhérence L est compacte donc normale. Le lemme d'Urysohn montre qu'il existe une fonction fL, qui vaut 1 sur K et 0 sur le complémentaire de U dans L. On prolonge fL par une fonction f, définie sur X et qui vaut 0 sur le complémentaire de L dans X. La fonction f est continue sur le fermé L, et nulle donc continue sur le complémentaire de U dans X. Elle est donc continue sur l'union X de ces deux fermés. Le support de la fonction f est un fermé du compact L, la fonction f est donc à support compact.

Démonstrations différentielles

Fonction plateau

Fonction-plateau-(2).jpg

Dans toute la suite de l'article E désigne un espace euclidien et n sa dimension. La démonstration du lemme d'Urysohn en géométrie différentielle demande la construction de fonctions plateau, analogue à celle illustrée sur la figure de droite. On cherche une application fδ, où δ est un réel strictement positif, de E et à valeurs dans les nombres réels positifs, à support dans la boule fermée de centre le vecteur nul et de rayon δ, infiniment différentiable et d'intégrale sur E égale à 1[15].

Fonction-plateau-(1).jpg

Pour construire une telle fonction, on bâtit d'abord la fonction illustrée en rouge sur la figure de gauche. Soit a et b deux nombres réels tels que a < b, on cherche à construire une application φab définie sur R, à support égal à [ab], infiniment dérivable et à valeurs dans les nombres réels strictement positifs. On définit la fonction φab par :

\forall x \in [-\infty, a] \cup [b, \infty],\; \varphi_{ab}(x) = 0 \quad\text{et}\quad \forall x \in ]a,b[,\; \varphi_{ab}(x) = \exp \left(\frac {-1}{(x-a)(b-x)}\right)

Une rapide vérification montre que φab est bien infiniment dérivable, à support égal à [ab] et à valeurs positives. Comme elle est à valeurs strictement positives sur ]ab[, l'intégrale dont la valeur est notée k-1 est bien différente de 0.

k^{-1} = \int_a^b \varphi_{ab}(t) \mathrm dt

On cherche alors à construire la fonction illustrée en bleu sur la figure de gauche. C'est une fonction ψab de R dans l'intervalle [0, 1] qui vaut 1 pour toute valeur inférieure à a, 0 pour toute valeur supérieure à b et qui est infiniment dérivable. Pour la construire, il suffit de considérer la primitive de la fonction -kab qui vaut 0 en b. La fonction fδ est alors définie par :

\forall u \in E \quad f_{\delta}(u) = \lambda \psi_{0\delta}(\|u\|)\quad\text{avec}\quad \lambda^{-1} = \int_E \psi_{0\delta}(\|u\|) \mathrm d u

Lemme

Urysohn-Différentiel-(1).jpg
Urysohn-Différentiel-(2).jpg

On suppose que E est un espace euclidien, K, illustré en vert sur la figure de gauche est un compact, Ω est un ouvert contenant K, en jaune sur la figure et on note cΩ, en rouge, le fermé complémentaire de Ω. L'objectif est de construire une application définie sur E, à valeurs dans [0, 1], qui vaut 1 sur K, 0 sur cΩ et infiniment différentiable. Cela revient à dire que la fonction g recherchée possède un graphe inclus dans la cage jaune de la figure en haut à droite (sauf sur la zone rouge où elle est nulle) et qu'elle recouvre le graphe de la fonction caractéristique que K, illustrée en bleu-vert sur la même figure. En termes plus mathématiques on obtient, si χK et χΩ désignent les fonctions caractéristiques de K et de Ω :

\forall x \in E \quad \chi_{\Omega}(x) \ge g(x) \ge \chi_{K}(x)

Considérons la fonction de K dans R+, qui à x associe la distance entre x et cΩ. C'est une fonction continue, définie sur un compact, elle atteint sa borne inférieure. Si cette borne inférieure était nulle, elle serait atteinte en un point x adhérent à K et à cΩ. Comme ces deux ensembles sont fermés, x serait élément de K et de cΩ. Par définition de Ω, un tel point ne peut exister et la borne inférieure est strictement positive. Soit δ un réel strictement positif tel que 2.δ soit plus petit que cette borne inférieure (illustré sur la figure de gauche). On considère alors l'ensemble V, illustré en violet sur la figure de gauche, des points de E situés à une distance inférieure ou égale à δ de K. Par construction, tout point de cΩ est à une distance au moins égale à δ de V et toute boule de centre un point de K et de rayon δ est incluse dans l'ensemble V.

On considère la fonction caractéristique χV de l'ensemble V, illustrée sur la figure au milieu à droite et on définit g comme le produit de convolution de la fonction χV et fδ du paragraphe précédent :

\forall x \in E \quad g(x) = (f_{\delta} \ast \chi_V) (x) = \int_E f_{\delta}(x-t) \cdot \chi_V(t) \mathrm dt

Comme les deux fonctions sont à support compact, l'intégrale est bien définie. Comme fδ est une fonction infiniment différentiable, la fonction g l'est[16]. Comme la fonction caractéristique est à valeurs positives comprises entre 0 et 1 et que fδ est une fonction positive, d'intégrale sur E égal à 1, la fonction g prend ses valeurs dans l'intervalle [0, 1]. Si x est un élément de K, la fonction qui à t associe fδ(x - t) est partout nulle, sauf sur la boule de centre x et de rayon δ. Si x est élément de K, cette boule est incluse dans V, on en déduit :

\forall x \in K \quad g(x) = \int_{B(x,\delta)} f_{\delta}(x-t)\mathrm dt = \int_{B(0,\delta)} f_{\delta}(t)\mathrm dt=1

Si x est élément de cΩ, la fonction qui à t associe fδ(x - t) est encore partout nulle, sauf sur la boule de centre x et de rayon δ. Sur cette boule, la fonction χV est nulle, on en déduit que sur le complémentaire de Ω, la fonction g est bien nulle. Cette remarque termine la démonstration[3]. La fonction g est celle illustrée sur la figure en bas à droite.

Notes et références

  1. Dans un espace métrique, le lemme d'Urysohn est immédiat : voir l'article Axiome de séparation (topologie).
  2. S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 38 (ISBN 2729600595)
  3. a et b La démonstration de la version différentielle présentée ici est analogue à celle de Lemme d'Urysohn sur le site les mathématiques.net
  4. I.M. James (éditeur) History of topology Chap 1 The emergence of topological dimension theory Oxford University (1999) pp 1-24 (ISBN 0444823751)
  5. (de) B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, vol. 3, Berlin, Springer, 2001, 3e éd., poche (ISBN 978-3-540-67790-1) 
  6. a et b Nicolas Bourbaki Éléments d'histoire des mathématiques Springer-Verlag (éd 2006) p 205 (ISBN 3540339388)
  7. P. Urysohn P. Aleksandrov Zur Theorie der topologischen Räume Mathematische Annalen 1924
  8. a et b L C Arboleda Les débuts de l'école topologique soviétique : notes sur les lettres de Paul S Alexandroff et Paul S Urysohn à Maurice Fréchet Arch. Hist. Exact Sci. Vol 20 (1) (1979) pp 73-89
  9. a et b Article Jean Dieudonné dans l'Encyclopedia Universalis
  10. Cette approche correspond à la preuve donnée dans (en) J. Dugundji Topology Wm. C. Brown Publishers (1989) p. 146 (ISBN 0697068897).
  11. (en) M. Mandelkern, « A short proof of the Tietze-Urysohn extension theorem », dans Archiv der Mathematik, vol. 60, no 4, 1993, p. 364-366 [texte intégral] 
  12. Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]  p. 114
  13. Cette démonstration est accessible sur le net : F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel École Normale supérieure (2008-2009) p 37
  14. La démonstration proposée ici est extraite de : S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) p 38 (ISBN 2729600595)
  15. On trouve ce type de construction dans : Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions]  p. 19
  16. Voir à ce sujet l'article Dérivation sous intégrale

Voir aussi

Bibliographie

(en) M. Henle, A combinatorial introduction to topology, Dover Publications (1994) (ISBN 0486679667)

Lien externe

G. Favi, Quelques idéaux maximaux de l'anneau des fonctions continues Journal de l'IMA, Université de Basel (Une démonstration de la version topologique)


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