Lemme de Gauss

Lemme de Gauss (théorie des nombres)

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Un lemme de Gauss est utilisé en théorie des nombres dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique ^[1].

Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.

On considère les entiers

$a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a$

et leurs plus faibles résidus modulo m.

Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors

$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n$

où $\left(\frac{a}{p}\right)$ est le symbole de Legendre.

Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant

$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}.$

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme peut être déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons le produit suivant :

$Z = a \cdot 2a \cdot 3a \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 a$

modulo p de deux manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut :

$Z = a^{(p-1)/2} \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 \right).$

Le second calcul est plus délicat. Si x est un résidu non nul modulo p, définissions la "valeur absolue" de x comme

$|x| = \begin{cases} x & \mbox{si } 1 \leq x \leq \frac{p-1}2, \\ -x & \mbox{si } \frac{p+1}2 \leq x \leq p-1. \end{cases}$

Comme n dénombre les multiples ka se trouvant dans le second intervalle, et que pour ces multiples, −ka se trouve dans le premier intervalle, on a :

$Z = (-1)^n \left(|a| \cdot |2a| \cdot |3a| \cdot \cdots \cdots \left|\frac{p-1}2 a\right|\right).$

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, ..., (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra = ±sa, et donc r = ±s (parce que a est inversible modulo p), donc r = s car ils appartiennent tous deux à l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2. Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette séquence représente une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient :

$Z = (-1)^n \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2\right).$

En comparant avec notre premier calcul, on peut supprimer les facteurs non nuls :

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2$

ce qui nous donne

a^{(p − 1) / 2} = ( − 1)ⁿ.

Ceci est le résultat souhaité, car la partie de gauche n'est qu'une réécriture du symbole de Legendre (a/p).

Références

1. ↑ Lemmermeyer1

Liens externes

• Une démonstration en ligne
• Introduction to Number Theory, Apostol, Springer.

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