Limite Projective

Limite Projective

Limite projective

En mathématiques, la notion de limite projective (inverse limit en anglais) est utilisée pour considérer simultanément toute une famille d'objets, par exemple des groupes, liés entre eux par une famille de morphismes, par exemple des morphismes de groupes.

Le cadre général pour cette notion est celui des catégories.

Sommaire

Définition concrète

Pour fixer les idées, on parle d'abord de limite projectives de groupes.

On considère une famille (Ai)iI de groupes, indexée par un ensemble I ordonné, et munie d'une famille de morphismes de groupes fij : AjAi pour tout ij (remarquer l'ordre : du plus grand indice j vers le plus petit i, au contraire d'une limite inductive) vérifiant les conditions de compatibilité :

  1. fii est l'identité sur Ai,
  2. fik = fij O fjk pour tous ijk.

La donnée (I, Ai, fij) est appelée système projectif de groupes. La limite projective de ce système est alors définie comme un sous-groupe du produit direct des Ai :

\varprojlim A_i = \Big\{(a_i) \in \prod_{i\in I}A_i \;\Big|\;  \forall i \leq j, \,\,  a_i = f_{ij}(a_j) \Big\}

Cette limite projective est munie naturellement de projections sur chacun des Ai. Qui plus est, elle vérifie une propriété universelle parmi les groupes se projetant sur les Ai. Il est en fait possible de définir la limite projective par cette propriété universelle.

La même construction peut être effectuée avec des ensembles, des anneaux, des modules, des algèbres, au lieu des groupes.

Exemple

L'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p est défini comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z, indexés par \mathbb{N} et reliés par les morphismes de réduction modulo p. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_{n\ge 1} telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n < m, a_n\equiv a_m [p^n].

Définition générale

Soit (Xi, fij) un système projectif dans une catégorie C (la définition donnée ci-dessus pour les groupes s'adapte à n'importe quelle catégorie). La limite projective X est un objet de la catégorie C muni de flèches πi de X à valeurs dans Xi vérifiant les relations de compatibilité πi = fij O πj pour tous ij. De plus, la donnée (X, πi) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψi il existe une unique flèche u : YX telle que le diagramme :

InverseLimit-01.png

soit commutatif pour tous ij. La limite projective est notée : X = \varprojlim X_i. On parlera de limite projective des Xi suivant les morphismes fij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voire tout simplement de limite projective des Xi.

Contrairement au cas concret de la catégorie des groupes, où la définition comme sous-groupe du produit direct assure l'existence d'une limite projective, la limite projective peut ne pas exister dans une catégorie générale. En revanche, l'unicité si existence est toujours assurée : si X′ est une autre limite projective, il existe un unique isomorphisme X′ → X qui commute avec les projections.

Voir aussi

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