Localement (topologie)

Localement (topologie)

Propriété locale

On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe une base de voisinages de ce point sur lequel la propriété est vraie.

On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée si elle est localement vérifiée en tout point de l'espace topologique considéré.

Cette notion se retrouve dans tous les domaines des mathématiques qui utilisent la topologie, en particulier en analyse.

Souvent, il suffit que la propriété soit vraie pour un voisinage du point pour qu'elle soit vraie localement en ce point, par exemple :

  • On dit qu'une fonction \ f : X \to \R définie sur un espace topologique \ X admet en en point \ a de \ X un maximum local s'il existe un voisinage \ V de \ a tel que \ f(a) soit la plus grande valeur de \ f sur \ V .
  • On dit qu'un espace topologique est localement compact s'il est séparé et si chacun de ses points possède un voisinage compact.

Cependant, c'est faux en général, par exemple :

  • On ne peut pas dire que la fonction \ x\mapsto\frac{1}{x} est localement non bornée au point \ x=1 sous prétexte qu'elle est non bornée sur \ ]0,2[ (qui est un voisinage du point considéré).
  • Il existe des espaces connexes qui ne sont pas localement connexes en un point, on peut par exemple prendre l'adhérence du graphe de \ x\mapsto \sin\frac{1}{x} , x>0, dans \ \mathbb{R}^2 , et le point \ (0,1) . Pourtant, l'espace tout entier est un voisinage connexe de ce point.
Ce document provient de « Propri%C3%A9t%C3%A9 locale ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Localement (topologie) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • TOPOLOGIE - Topologie algébrique — Inventée au début du XXe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l’introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l’exposé, on a… …   Encyclopédie Universelle

  • TOPOLOGIE - Topologie générale — Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l’on se propose d’analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe (fig. 1) telle qu’on la trouve dans les manuels classiques… …   Encyclopédie Universelle

  • TOPOLOGIE - Topologie différentielle — La topologie différentielle, que l’on devrait plutôt appeler «topologie des variétés », est une discipline mathématique assez ancienne par les problèmes qu’elle cherche à résoudre: ils étaient presque tous posés au début du siècle; mais ses… …   Encyclopédie Universelle

  • Topologie grossiere — Topologie grossière En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l ensemble vide et l espace lui même. Cette topologie est la moins fine de toutes les… …   Wikipédia en Français

  • Topologie triviale — Topologie grossière En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l ensemble vide et l espace lui même. Cette topologie est la moins fine de toutes les… …   Wikipédia en Français

  • Topologie de zariski — En géométrie algébrique, le terme topologie de Zariski peut désigner trois notions proches: une certaine topologie définie sur une variété algébrique une topologie définie de manière analogue sur le spectre premier d un anneau commutatif une… …   Wikipédia en Français

  • Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie — En mathématiques, la topologie d un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K est, sous certaines hypothèses, un cas particulier de topologie d espace vectoriel normé. Le prototype est Rn muni de la norme qui à un n uplet de réels… …   Wikipédia en Français

  • Topologie quotient — En mathématiques, la topologie quotient consiste intuitivement à créer une topologie en collant certains points d un espace donné sur d autres, par le biais d une relation d équivalence bien choisie. Cela est souvent fait dans le but de… …   Wikipédia en Français

  • Topologie compacte-ouverte — En mathématiques, la topologie compacte ouverte est une topologie définie sur l ensemble des applications continues entre deux espaces topologiques. C est l une des topologies les plus utilisées sur un tel espace fonctionnel, et elle est employée …   Wikipédia en Français

  • Topologie faible — En mathématiques, la topologie faible d un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E . On définit également sur E une topologie dite faible * au moyen de E. Sommaire 1 Topologie affaiblie d… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”