Loi inverse-gamma

Inverse-gamma
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	α > 0 paramètre de forme (réel) β > 0 paramètre d'échelle (réel)
Support	$x\in(0;\infty)\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha - 1} \exp \left(\frac{-\beta}{x}\right)$
Fonction de répartition	$\frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!$
Espérance	$\frac{\beta}{\alpha-1}\!$ pour α > 1
Mode	$\frac{\beta}{\alpha+1}\!$
Variance	$\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\!$ pour α > 2
Asymétrie	$\frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}\!$ pour α > 3
Kurtosis normalisé	$6\frac{5\,\alpha-11}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\!$ pour α > 4
Entropie	$\alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)$
Fonction génératrice des moments	$\frac{2\left(-\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4\beta t}\right)$
Fonction caractéristique	$\frac{2\left(-i\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)$
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Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une Distribution Gamma.

Caractérisation

Densité de probabilité

La Densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support x > 0 par:

$f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right)$

où α est un Paramètre de forme et β un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un Paramètre d'échelle.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition est la Fonction gamma régularisée:

$F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!$

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la Fonction gamma.

Distributions associées

• Si X∼Inv-Gamma(α,β) et $\alpha = \frac{\nu}{2}, \beta = \frac{1}{2}$ alors $X \sim \mbox{Inv-chi-square}(\nu)\,$ est une loi du chi-deux (χ²) inverse;
• Si $X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, \theta)\,$ , alors $1/X \sim \mbox{Gamma}(k, 1/\theta)\,$;
• Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la distribution Wishart inverse;

Obtention à partir de la loi Gamma

La densité de la loi Gamma est

$f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}$

et définissons la transformation $Y = g(X) = \frac{1}{X}$. La densité de la transformée est alors

$f_Y(y) = f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$

$= \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)^{k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right) \frac{1}{y^2}$

$= \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)^{k+1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right)$

$= \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} y^{-k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right)$

Remplaçant k par α, θ ^{− 1} par β et enfin y par x donne la densité donnée plus haut:

$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{x} \right)$