Loi triangulaire

En théorie des probabilités, une loi triangulaire est une loi de probabilité dont la fonction de densité est affine de son minimum à son mode et de son mode à son maximum. Elle est mentionnée sous deux versions : une loi discrète et une loi continue.

Version discrète

La loi triangulaire discrète de paramètre entier positif a est définie pour tout entier x compris entre − a et a par :
$P(x) = \frac{a+1-|x|}{(a+1)^2}$.

Version continue

Triangulaire
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$a:~a\in (-\infty,\infty)$ $b:~b>a\,$ $c:~a\le c\le b\,$
Support	$a \le x \le b \!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\left\{ \begin{matrix} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b \end{matrix} \right.$
Fonction de répartition	$\left\{ \begin{matrix} \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{pour\ } a \le x \le c \\ & \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{pour\ } c \le x \le b \end{matrix} \right.$
Espérance	$\frac{a+b+c}{3}$
Médiane (centre)	$\left\{ \begin{matrix} a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\ b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{pour\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} \end{matrix} \right.$
Mode	$c\,$
Variance	$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}$
Asymétrie	$\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}$
Kurtosis normalisé	$-\frac{3}{5}$
Entropie	$\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)$
Fonction génératrice des moments	$2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
Fonction caractéristique	$-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2}$
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Caractérisation

La loi triangulaire continue sur le support [a;b] et de mode c est définie par la densité suivante sur [a,b] :

$f \colon x \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{ si } a \le x \le c \\ \\ \displaystyle\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{ si } c \le x \le b \\ \\ 0 & \mbox{ sinon}\end{cases}$

Dans de nombreux domaines, la loi triangulaire est considérée comme une version simplifiée de la Loi bêta.

Liens avec la loi uniforme

Soit X₁,X₂ deux variables indépendamment et identiquement distribuées selon une loi uniforme standard. Alors:

• La distribution de la moyenne $Y:=\frac{X_1 + X_2}{2}$ est une loi triangulaire de paramètres a=0, b=1 et c = ½;
• La distribution de l'écart absolu Z: = | X₁ − X₂ | est aussi distribué selon une loi triangulaire de paramètres a=0, b=1 et c =0.