Longueur de debye

Longueur de Debye

En physique des plasmas, la longueur de Debye, en référence au chimiste Peter Debye, est l'échelle de longueur sur laquelle les charges électriques (par exemple les électrons) écrantent le champ électrostatique dans un plasma ou un autre conducteur. Autrement dit, la longueur de Debye est la distance en dessus de laquelle une séparation significative des charges peut avoir lieu.

La longueur de Debye apparait aussi dans la théorie des solutions d'électrolyte ; elle y définit la longueur sur laquelle les ions présents en solution font écran au champ électrique, généré par exemple par une paroi chargée ou un colloïde. De manière équivalente, la longueur de Debye caractérise l'épaisseur de la double couche électrique, nom donné à la couche diffuse d'ions qui apparait en vis-à-vis d'une surface chargée, porteuse d'une charge nette opposée à celle de la surface.

Quelques exemples

Dans l'espace, la densité d'électrons dans les plasmas est relativement faible, ce qui permet d'obtenir les ordres de grandeurs macroscopiques pour la longueur de Debye (voir table) :

Plasma	Densité ne(m-3)	Température des électrons T(K)	Champ magnétique B(T)	Longueur de Debye λD(m)
Décharge dans un gaz	1016	104	--	10-4
Tokamak	1020	108	10	10-4
Ionosphère	1012	103	10-5	10-3
Magnétosphère	107	107	10-8	102
Noyau solaire	1032	107	--	10-11
Vent solaire	106	105	10-9	10
Milieu interstellaire	105	104	10-10	10
Milieu intergalactique	1	106	--	105

Source : (en) Chapter 19: The Particle Kinetics of Plasma
http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2008/

La longueur de Debye dans un plasma

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\displaystyle\frac{\varepsilon_0\,k_B}{q_\mathrm{e}^2}}{\displaystyle\frac{n_\mathrm{e}}{T_\mathrm{e}}+\displaystyle\sum_\mathrm{ij} \frac{j^2n_\mathrm{ij}}{T_\mathrm{i}}}}$

où:

λ_D est la longueur de Debye,

$\varepsilon_0$ est la permittivité du vide,

k_B est la constante de Boltzmann,

q_e est la charge d'un électron,

T_e et T_i sont respectivement les températures des électrons et des ions,

n_e est la densité d'électrons,

n_ij est la densité d'atomes i ayant une charge jq_e

Le terme ionique est souvent négligé (lorsque la température des ions est négligeable devant celle des électrons}. La formule se simplifie alors en :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0\,k_\mathrm{B}\,T_\mathrm{e}}{n_\mathrm{e}\,{q_\mathrm{e}}^2}}$

La longueur de Debye dans un électrolyte

Expression

En présence de n types d'ions de charge q_i ($i = 1,\ldots,n$) dans la solution d'électrolyte, la longueur de Debye est donnée par :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d} k_\mathrm{B}T}{\sum_\mathrm{i}\,q_\mathrm{i}^2\,c_\mathrm{i}^0} }$,

où :

• $\varepsilon_\mathrm{d} = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}$ est la permittivité diélectrique du solvant ($\varepsilon_0$ étant la permittivité diélectrique du vide, environ égale à 8,85.10 ^{− 12} F/m, et $\varepsilon_\mathrm{r}$ la permittivité relative du solvant : dans l'eau à température ambiante $\varepsilon_\mathrm{r} \approx 80$) ;
• T est la température exprimée en Kelvin ; k_B est la constante de Boltzmann, environ égale à 1,38.10 ^{− 23} J/K, qui relie température et énergie thermique ;
• $c_\mathrm{i}^0$ est la concentration en ions de charge q_i loin de la charge écrantée (là où le champ électrique est nul), exprimée en ions / m³.

Cette expression de la longueur de Debye apparait lors de la résolution de l'équation de Poisson-Boltzmann, qui décrit l'écrantage d'une charge par les (micro)ions dans une solution d'électrolyte.

Dans le cas d'un électrolyte monovalent comme le chlorure de sodium (NaCl, sel de cuisine) ou le chlorure de potassium (KCl) :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d}\,k_\mathrm{B}T}{2 e^2 c_\mathrm{s}^0} }$,

où $c_\mathrm{s}^0$ est la concentration en électrolyte de la solution, exprimée en ions / m³.

Lors des applications numériques, les concentrations en ions, généralement exprimées en mol / L, doivent êtres converties en ions / m³; on utilise pour cela la formule suivante :

$c (\mathrm{ions/m^3}) = c (\mathrm{mol/L}) \times N_\mathrm{A} \times 10^3,$

où N_A est le nombre d'Avogadro.

Valeurs typiques

Dans une solution aqueuse de sel monovalent (par exemple : sel de cuisine dissous dans de l'eau) à température ambiante (environ 20 °C), la longueur de Debye ne dépend plus que de la concentration en sel c_s, exprimée en mol/L :

$\lambda_\mathrm{D} = \frac{\text{0,3 nm}}{\sqrt{c_\mathrm{s} \mathrm{(mol/L)}}}$.

La longueur de Debye diminue lorsque la concentration en sel augmente.

Dans l'eau pure (situation extrêmement difficile à réaliser experimentalement), l'auto-dissociation de l'eau donne lieu à la présence d'ions H ⁺ et OH ⁻ , avec une concentration de 10 ^{− 7} mol/L chacun. Ainsi, même dans la situation la plus idéale, le champ électrique sera écranté dans l'eau sur une distance de l'ordre de 700 nm, inférieure au micron. Pour des concentrations en sel significatives, la longueur de Debye varie de quelques dizaines de nanomètres à une fraction de nanomètre.

Références

B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique, Hermann, 1989.

(en) R.J. Hunter, Foundations of Colloid Science [« Bases de science des colloïdes »], Oxford University Press, 2^e éd., 2001.

Liens internes

• Peter Debye
• Physique des plasmas
• Liste des concepts scientifiques

Liens externes

• Extrait sur la longueur de Debye d'une thèse

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