Machine d'Atwood

schéma de la machine d'Atwood

Atwood (1746-1807) est surtout célèbre chez les élèves de terminales math. élém. des années 1945-1972, par sa « machine » hautement didactique qui permettait de s'entraîner sur la bonne application de la « relation fondamentale de la dynamique » (deuxième loi de Newton) et/ou la conservation de l'énergie mécanique. Tous les grands lycées de France possèdent sans doute encore, dans leurs placards, une machine d'Atwood.

Du point de vue expérimental, l'appareil fut l'objet d'un travail soutenu durant au moins un siècle, ce qui permit de tenir compte de beaucoup de correctifs. Néanmoins, pouvoir placer l'appareil dans un grand tube de Newton est resté l'apanage des très grands lycées.

Pourquoi cette machine ?

La chute libre est difficile à étudier quantitativement, car les temps de parcours sont très courts. Galilée est le premier à chercher comment la ralentir, sans la « dénaturer » : il pensa au plan incliné d'angle α (où intervient seulement g⋅sinα), puis à la succession de plans inclinés. La difficulté pour Galilée restait la mesure du temps…

Atwood proposa « sa » machine pour diminuer l'accélération des masses, au mieux.

Description sommaire

Sur une poulie, un fil relie deux masses m₁ et m₂ (m₁ < m₂). Si les masses sont égales et le système immobile il restera ainsi en équilibre. Si l'une des masses est plus grande (m₂ > m₁, par exemple), son poids entraîne le mouvement, mais on conçoit que la masse m₁ ralentit la chute de m₂ .

Un problème de dynamique dit élémentaire

Prenons comme hypothèses que la poulie est sans inertie, que les mouvements se font sans frottement et que le fil est inextensible et sans masse. La masse la plus lourde m₂ tombe avec l'accélération réduite a :

$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$

où a < g.

Note

Le pourquoi de l'abandon : les problèmes sur la machine d'Atwood sont légion et ce fut un « pont-aux-ânes » durant des décennies. Malheureusement, si tout le monde était d'accord sur le résultat, la méthode pour y arriver provoqua des batailles pédagogiques épiques durant des décennies.

[démonstration]

Principe fondamental de la dynamique en translation appliqué à m₁ : T - m₁⋅g = m₁⋅a

PFDT appliqué à m₂ : m₂⋅g - T' = m₂⋅a

La valeur de a est la même car le fil est inextensible.

T = T' car la poulie est sans inertie.

On en tire a.

[démonstration refusée si point d'autre développement]

La force « globale » est (m₂ - m₁)⋅g et la masse « globale » est (m₁ + m₂).

Ce « global » provoquait la colère de certains examinateurs (car la réaction de la poulie, n'est-ce pas? )…

[démonstration avec, en sus, la petite phrase suivante] :

« Le théorème de l'énergie cinétique-puissance donne (m₁ + m₂)⋅a⋅v = m₂⋅g⋅v - m₁⋅g⋅v + O , car aucune autre force ne travaille »

remettait dans les bonnes grâces.

Comment alors juger adéquatement les candidats ? Cela dépendait tellement du cours reçu. D'autant qu'il fut un temps où l'on considérait que, pour le baccalauréat,«  seul le résultat comptait » puisque l'expérience tranchait ensuite ! Après des décennies d'hypocrisie, on a relégué la machine au placard.

Voir aussi

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• Pendule d'Atwood