Anneau Local
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Anneau local
En mathématiques, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal.
- Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal (0).
- Pour tout nombre premier p, l'ensemble
des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par p est un anneau local; son unique idéal maximal est 
. Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'anneau à valuation discrète.
- Pour tout corps commutatif K, l'anneau K[[X]] des séries formelles à coefficients dans K est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par X.
Un anneau commutatif A est un anneau local si, et seulement si le complémentaire dans A de l'ensemble des unités de A est un idéal de A. C'est alors l'unique idéal maximal de A.
Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.
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