Anneau idéal

Idéal

Pour les articles homonymes, voir Idéal (homonymie).

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible d'énoncer des versions très générales de théorèmes d'arithmétique tels que le théorème des restes chinois ou le théorème fondamental de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique de groupe en ce sens qu'elle permet de définir la notion d'anneau quotient.

Aspect historique

La théorie des idéaux est relativement récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIX^e siècle. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéresse aux nombres algébriques et plus particulièrement aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entiers algébriques se comportaient comme les entiers relatifs, en particulier la décomposition en facteurs premiers de manière unique. Il semblait bien, dès le début du XIX^e siècle, que cela n'était pas toujours le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt{5}]$ sous la forme $2 \times 3$ ou sous la forme $(1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})$

Ernst Kummer pressent alors que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute i aux nombres réels tel que i² = − 1 afin de disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va "inventer" quatre nombres "idéaux" a, b, c et d tels que :

$2 = a \cdot b$

$3 = c \cdot d$

$1 + i\sqrt{5} = a \cdot c$

$1 - i\sqrt{5} = b \cdot d$

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

$6 = a \cdot b \cdot c \cdot d$

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre idéal de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations semblables à l'addition et la multiplication dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale, mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

Définition

Une partie I d'un anneau A est un idéal à gauche de A si :

• I est un sous-groupe additif de A.
• $\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I$
  Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

• I est un sous-groupe additif de A.
• $\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I$
  Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un idéal à gauche et à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples:

• Pour tout entier relatif k, $k \mathbb{Z}$ est un idéal de $\mathbb{Z}$.
• Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont sans intérêt, c'est la raison pour laquelle on appellera idéal propre un idéal différent de A.
• Si A est un anneau unitaire et si I est un idéal contenant 1 alors I = A. Plus généralement, si I contient un élément inversible alors I = A
• Les seuls idéaux dans un corps K sont les idéaux triviaux ; c'est pourquoi le domaine d'application des idéaux est la divisibilité dans un anneau.

Morphisme d'anneau

Article détaillé : Anneau quotient.

Un idéal joue, pour les anneaux, le même rôle que les sous-groupes normaux pour les groupes.

• Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme de A dans B, alors le noyau de φ est un idéal bilatère.

• Soit A un anneau et I un idéal bilatère de A, alors le groupe quotient A/I peut être muni d'une unique structure d'anneau telle que la surjection canonique de A dans A/I soit un morphisme d'anneaux. Cf. section ci-dessous.

• Soit A et B deux anneaux, φ un morphisme d'anneau de A dans B. Notons s l'application canonique de A dans l'anneau quotient A/I et i le morphisme de φ(A) dans B qui à b associe b. Alors, i est une injection, s une surjection et il existe une bijection b tel que :

$\phi = i\circ b\circ s$

• Soit A et B deux anneaux et $\varphi$ un morphisme d'anneau de A dans B. Alors:
  • Si J est un idéal bilatère de B alors $\varphi^{-1}(J)$ est un idéal bilatère de A. Si, de plus, J est un idéal premier de B, alors $\varphi^{-1}(J)$ est un idéal premier de A. Il n'y a en revanche pas de résultat analogue pour les idéaux maximaux.
  • Si φ est un morphisme d'anneaux surjectif de A dans B, alors pour tout idéal bilatère I de A, φ(I) est un idéal bilatère de B.
  • La propriété ci-dessus n'est en général pas vraie si φ n'est pas surjectif. On peut prendre par exemple A=ℤ, B=ℚ et φ l'inclusion canonique. Alors φ(I) n'est un idéal de ℚ que si I est l'idéal nul.

Opérations portant sur les idéaux

Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux considérés sont de même type (par ex. tous bilatères)

Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors l'ensemble $I+ J = \{x + y | x \in I \ et \ y \in J\}$ est un idéal.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un idéal.

L'ensemble des idéaux de A muni de ces deux opérations forme alors un treillis.

Idéal engendré : la seconde loi permet de mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau , on appelle idéal engendré par P l'intersection de tous les idéaux de A contenant P.

Exemples:

• Pour un anneau commutatif A, a∈A engendre l'idéal aA (par exemple n engendre $n\mathbb Z$, idéal de $\mathbb Z$)
• Pour I et J deux idéaux de A, l'idéal I + J est engendré par le sous-ensemble $I \cup J$ de A.

Produit : si I et J sont deux idéaux d'un anneau, on appelle produit de I et J l'idéal $\textstyle IJ$ engendré par tous les éléments de la forme xy où x appartient à I et y appartient à J. Et, si l'anneau est commutatif, on a $IJ\subset I\cap J$

Exemple : dans l'anneau $\mathbb Z$ , le produit des idéaux $n\mathbb Z$ et $p\mathbb Z$ est l'idéal $np\mathbb Z$ et ce dernier est inclus dans $n\mathbb Z \cap p\mathbb Z$

Anneau quotient : si I est un idéal bilatère, la relation $x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I$ est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur l'ensemble des classes $\dot x = x + I$ une structure d'anneau appelé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

Radical d'un idéal d'un anneau commutatif

Si I est un idéal d'un anneau commutatif A, on appelle radical de I, noté $\sqrt{I}$ , l'ensemble des éléments x de A tels qu'il existe un entier naturel n pour lequel $x^n \in I$. C'est un idéal de A.

Exemple: $30\mathbb Z$ est le radical de $360\mathbb Z$

Si A est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

• $\sqrt{I} \supset I$
• $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
• $\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$
• $\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$
• Si de plus A est unitaire, $\sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A$

Idéaux particuliers

Idéal primaire: dans un anneau commutatif unitaire, I est un idéal primaire ssi pour tout a et b de A tel que $ab\in I$ , si $a \notin I$ alors, il existe un entier naturel n tel que $b^n \in I$

Idéal premier: dans un anneau commutatif unitaire, I est un idéal premier ssi I est différent de A, et pour tous a et b de A tels que $ab\in I$, on a la propriété que si $a \notin I$ alors $b \in I$.

P est un idéal premier de A si et seulement si A / P est intègre.

Idéal décomposable : dans un anneau commutatif unitaire, I est décomposable ssi il est l'intersection finie d'idéaux primaires.

Idéal irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un idéal I est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de deux idéaux J et K différents de I.

Idéal maximal : Un idéal M est maximal ssi il existe exactement deux idéaux contenant M à savoir A et M lui même.

Dans un anneau commutatif unitaire, un idéal maximal est nécessairement premier.

l'idéal M est un idéal maximal de A si et seulement si A / M est un corps.

L'idéal engendré par a est par définition le plus petit idéal contenant a. On le note (a).

Idéal principal : Un idéal I d'un anneau A est principal s'il existe un élément a de A tel que I = (a).

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal. Par exemple, $\mathbb{Z}$ ou l'anneau $\mathbb K[X]$ des polynômes sur un corps $\mathbb K$ sont des anneaux principaux.

article détaillé : idéal principal

Idéal radiciel : Idéal égal à son radical . C'est le cas par exemple de tout idéal premier dans un anneau commutatif unitaire.

Autres types d'idéaux

Idéal fractionnaire

Idéal fractionnaire: si A est un anneau commutatif unitaire, les idéaux fractionnaires de A sont les A-module x ^{− 1}J où x est un élément régulier (i.e. non diviseur de zéro) de A et J un idéal quelconque de A. Précisément x ^{− 1}J est inclus dans $x^{-\mathbb N}J$ le localisé de l'idéal J (vu en tant que A-module) en la partie multiplicative $x^{\mathbb N} \subset$A.

En particulier, si A est un anneau intègre et si K est son corps des fractions, I est un idéal fractionnaire de A si I est un sous A-module de K et s'il existe un élément x non nul de A tel que xI $\subset$ A. (Pour faire le lien avec la définition générale ci-dessus, poser J=xI.)

Exemple: Si n et p sont deux entiers , dans l'ensemble des rationnels, l'ensemble des éléments pouvant s'écrire $\frac{a}{n}$ où $a \in p\mathbb Z$ est un idéal fractionnaire sur $\mathbb Z$.

Sur l'ensemble des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un idéal fractionnaire I sera inversible ssi il existe un idéal fractionnaire J tel que I.J = A.

Un cas particulier important est celui où A est un anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps $\mathbb{Q}$. On arrive alors à montrer que l'ensemble des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème affirme que ce groupe est fini.

Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un idéal de T ssi I est stable pour la loi $\vee$ et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x $\wedge$ y appartient à J.

Exemple : Si E est un ensemble et $A \subset E$. L'ensemble $\mathcal P(A)$ des parties de A est un idéal de $\mathcal P(E)$

Sources

• les-mathématiques.net
• Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

• Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques
• Lucien Chambadal, Dictionnaire des mathématiques modernes

Voir aussi

• Anneau
• Nilradical
• Théorème des zéros de Hilbert

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