Martingale (calcul stochastique)

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En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée F_s, est la valeur à cette même date :

E(X_t | F_s) = X_s (Avec $s \leq t$ )

X est un processus adapté à la filtration F.

On parlera de sous-martingale si $E(X_t|F_s) \geq X_s$ et de sur-martingale si $E(X_t|F_s) \leq X_s$.

Définitions

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par $\mathbb R^+$ ou $\mathbb N$.

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$, c'est-à-dire $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \ \ \forall n \in \mathbb N$

Filtration naturelle

Soit $(X_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ définie par $\mathcal{F}_n = \sigma (X_1,\ldots ,X_n) \ \forall n \in \mathbb N$ est la filtration naturelle de la suite $(X_n)_{n \ge 0}$.

Processus adapté

On dit que le processus $(X_n)_{n \ge 0}$ est adapté à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si X_n est $\mathcal{F}_n$-mesurable pour tout entier n.

Martingale dans $\mathbb{N}$

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ si:

1. $(M_n)_{n \ge 0}$ est adaptée à la filtration $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$.

1. $M_n \,$ est intégrable pour tout entier n.

1. $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) = M_n$.

Si $(M_n)_{n \ge 0}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \ge M_n \ \forall n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \le M_n \ \forall n$, alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M_n)_{n \ge 0}$ est une $\mathcal{F}_n$-martingale.

Processus prévisible

Soit $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ une filtration.

Soit $(Y_n)_{n \ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y_n)_{n \ge 0}$ est processus prévisible si $Y_0 \,$ est $\mathcal{F}_0$-mesurable et $Y_{n+1} \,$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable pour tout entier n.

Historique du nom

Donnons ici une histoire anti-chronologique de l'histoire du nom (et non du concept) de martingale.(issu de cette note^[1])

En Probabilité, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse^[2] de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 3 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.

La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, la première fois qu’apparaît le terme martingale est en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave^[3]. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement , grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire^[4] de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale^[5], jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.

La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVI-ième siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"^[1].

Propriétés

Propriété 1

Soit $(M_n)_{n \ge 0}$ une martingale.

On a $E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n)) = E(M_n) = \ldots = E(M_0)$

Autrement dit, la suite $(E(M_n))_{n \ge 0}$ est constante.

Exemples de martingales

exemple 1

Soit $X \,$ une variable aléatoire intégrable et $X_n := E(X |\mathcal{F}_n)$.

Alors $(X_n)_n \,$ est une $\mathcal{F}_n$-martingale.

exemple 2

Soit $(X_k)_k \,$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S_n)_n \,$ définie par $S_n := \sum_{k=1}^n X_k$ est une $\mathcal{F}_n$-martingale avec $\mathcal{F}_n = \sigma (X_0,\ldots ,X_n)$.

exemple 3

Soit (X_n)_n une $\mathcal{F}_n$-martingale, soit (Y_n)_n un processus borné prévisible par rapport à $(\mathcal{F}_n)_n$.

Alors $(Z_n)_n \,$ définie par $Z_n := Y_0 X_0 + \sum_{k=1}^n Y_k (X_k -X_{k-1})$ est une $\mathcal{F}_n$-martingale.

Exemple de martingale à temps continu

On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard (B_t)_t. Alors le processus stochastique $(M_t=B_t^2-t)_t$ est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale $(B_t^2)_t$

Les martingales et les temps d'arrêts

Théorème 1

Soit $(M_n)_n \,$ une $\mathcal{F}_n$martingale et $T \,$ un temps d'arrêt.

Alors $(M_{n\wedge T})_n \,$ est une martingale (appelée "martingale arrêtée").

Démonstration

• $M_{n\wedge T} = \sum_{j=1}^{n-1} M_j*1_{(T=j)} + M_n*1_{(T \ge n)}$.

$\forall k < n \ M_k \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$-mesurable.

$(T \ge n)=(T < n )^c = (\bigcup_{k=0}^{n-1} (T=k))^c \in \mathcal{F}_n$

Donc $M_{n\wedge T} \,$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable

• $|M_{n\wedge T} | \le |M_n|+|\sum_{j=1}^{n-1} M_j|$ d'où $M_{n\wedge T}\,$ est intégrable.

• $E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= E(\sum_{j=1}^{n-1+1} M_j*1_{(T=j)} |\mathcal{F}_n) + E(M_{n+1}*1_{(T \ge n+1)} | \mathcal{F}_n)$

Or $M_j \ et \ 1_{(T=j)}$ sont $\mathcal{F}_n$-mesurable $\forall j \le n$, de même pour $1_{(T \ge n+1)}$.

$E(M_{n+1\wedge T} |\mathcal{F}_n)= \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n) = \sum_{j=1}^{n} M_j*1_{(T=j)} + 1_{(T \ge n+1)}*M_{n} = M_{n\wedge T}$

 

Corollaire

$E(M_0) = E(M_{n\wedge T})$

Références

1. ↑ ^{a et b} [1]histoire des martingales, Roger Mansuy, Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (43e année, n° 169, 2005(1), p. 105-113)
2. ↑ Ville, J., Étude critique de la notion de collectif, Paris, Gauthier-Villars 
3. ↑ A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues, Randle Cotgrave, édition originale de 1611.
4. ↑ [2] Manuel lexique ou dictionnaire portatif des mots François (1750).
5. ↑ [3], voir Lou Trésor dou Félibrige ou Dictionnaire de provençal-français (1879), de Frédéric Mistral pour les expressions provençales.