Matrice Hessienne

Matrice hessienne

En mathématiques, la matrice hessienne d'une fonction numérique f est la matrice carrée, notée H(f), de ses dérivées partielles secondes.

Plus précisément, étant donnée une fonction f à valeurs réelles

f(x₁, x₂, ..., x_n),

et en supposant que toutes les dérivées partielles secondes de f existent, le coefficient d'indice i,j de la matrice hessienne de f vaut

$H_{ij}(f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$

ou, en d'autres termes,

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$ .

On appelle hessien (ou discriminant hessien) le déterminant de cette matrice.

Le terme « hessien » a été introduit par James Joseph Sylvester, en hommage au mathématicien allemand Ludwig Otto Hesse.

Soit notamment f une fonction de classe $\mathcal C^2$ définie sur un ouvert U de l'espace E, à valeurs réelles. Sa matrice hessienne est bien définie et en vertu du théorème de Schwarz, elle est symétrique.

Application à l'étude des points critiques

Point selle

On suppose f fonction de classe ${\mathcal C}^2$ sur un ouvert U. La matrice hessienne permet, dans de nombreux cas, de déterminer la nature des points critiques de la fonction f, c'est-à-dire des points d'annulation du gradient.

Précisément, un point critique de f est dit dégénéré lorsque le discriminant hessien s'annule. Lorsque les points critiques sont non dégénérés, le signe des valeurs propres détermine la nature du point critique.

• si la matrice est définie positive, le point constitue un minimum
• si elle est définie négative, il s'agit d'un maximum
• s'il y a des valeurs propres de chaque signe, on a affaire à un point selle.

Dans ce dernier cas, on définit l'indice du point critique comme le nombre de valeurs propres négatives.

En dimension deux notamment, le discriminant hessien étant le produit des valeurs propres, son signe suffit à déterminer la nature d'un point critique non dégénéré.

Enfin pour un point critique dégénéré, aucune de ces implications n'est vraie. Un des exemples les plus simples de point critique dégénéré est la selle de singe.

Extension au cadre des variétés

Lorsque M est une variété différentielle et f une fonction numérique indéfiniment différentiable sur M, il est possible de définir la différentielle de f en tout point, mais pas la matrice hessienne, comme on le voit en écrivant une formule de changement de cartes.

Cependant, lorsque m est un point critique pour la fonction f, la matrice hessienne de f en m peut effectivement être définie. On peut donc parler de point critique dégénéré ou non et prolonger les résultats du paragraphe précédent.

Lemme de Morse

Le lemme de Morse^[1] montre que le comportement d'une fonction régulière au voisinage d'un point critique non dégénéré est entièrement déterminé par la connaissance de l'indice du point critique.

Lemme de Morse — Soit f une fonction $C^\infty$ sur une variété différentielle de dimension n. On considère un point critique non dégénéré m pour la fonction f, et on note k son indice. Alors il existe un système de coordonnées locales $x_1, \dots, x_n$ centré en m et tel que l'expression correspondante de f est

$f(x)=f(m)-x_1^2-\dots -x_k^2 +x_{k+1}^2+\dots +x_n^2$

On qualifie un tel système de coordonnées de Morse.

Il résulte notamment du lemme que les points critiques non dégénérés sont isolés.

Théorie de Morse

Article détaillé : Théorie de Morse.

Une fonction dont tous les points critiques sont non dégénérés est qualifiée de fonction de Morse. La théorie de Morse a pour objectif de relier l'étude de la topologie de la variété à celle des points critiques des fonctions qui peuvent y être définies.

Notes et références de l'article

1. ↑ (en) John Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, 1963. ISBN 0-691-08008-9, p. 6.

Voir aussi

Articles connexes

• Forme quadratique
• Matrice jacobienne
• Point critique

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