Matrice Orthogonale

Matrice orthogonale

Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :

${}^tA\cdot A=I_{n}\,$, où I est la matrice identité.

Propriétés des matrices orthogonales

• Il découle de la définition d'une matrice orthogonale que toute matrice orthogonale est inversible et que A ^{− 1} = ^tA.

• Une matrice est orthogonale si et seulement si tous ses vecteurs colonne sont orthogonaux entre eux et de norme unité. Il en est de même pour les vecteurs ligne. Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormée.

• Le carré du déterminant d'une matrice orthogonale est égal à 1. Le déterminant d'une matrice orthogonale est donc égal à +1 ou -1. Si A est une matrice orthogonale et que son déterminant est +1 (respectivement -1), on dit que A est directe (respectivement indirecte).

• Le conditionnement d'une matrice orthogonale est égal à 1.

• La multiplication d'un vecteur par une matrice orthogonale préserve la norme de ce vecteur.

• L'ensemble de ces matrices est un groupe appelé groupe orthogonal et noté $O_{n}(\mathbb{R})$. Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des isométries vectorielles, aussi appelées automorphismes orthogonaux, de l'espace euclidien $\R^n$. Plus précisément, un endomorphisme d'un espace euclidien est orthogonal si, et seulement si, sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.

• L'ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1 forme un sous-groupe du groupe orthogonal, appelé groupe spécial orthogonal et noté $SO_{n}(\mathbb{R})$. Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des rotations de l'espace euclidien $\R^n$. Ces matrices sont également appelées orthogonales directes. Celles de déterminant -1 sont appelées orthogonales indirectes.

Voir aussi

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