Matrice a diagonale dominante

Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice est dite à diagonale dominante lorsque pour chaque ligne de la matrice, la somme en modules des termes d'une ligne (en dehors du terme sur la diagonale) est inférieure ou égale au module du terme de la diagonale de cette même ligne. Si $A=((a_{i,j})_{i,j \in [\![1,n]\!] })$, on a alors

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|\leqslant|a_{i,i}|.$

De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.$

Exemples

La matrice

$\mathbf A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ 1 & -3 & 2\\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

donne

$|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}| \Rightarrow |3| \ge |-2| + |1|$

$|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}| \Rightarrow |-3| \ge |1| + |2|$

$|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}| \Rightarrow |4| \ge |-1| + |2|.$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & -2 & 0\end{pmatrix}$

donne

$|b_{11}| \ge |b_{12}| + |b_{13}| \Rightarrow |-2| \ge |2| + |1|$

$|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}| \Rightarrow |3| \ge |1| + |2|$

$|b_{33}| \ge |b_{31}| + |b_{32}| \Rightarrow |0| \ge |1| + |-2|.$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf C = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1\\ 1 & 6 & 2\\ 1 & -2 & 5\end{pmatrix}$

donne

$|c_{11}| \ge |c_{12}| + |c_{13}| \Rightarrow |-4| > |2| + |1|$

$|c_{22}| \ge |c_{21}| + |c_{23}| \Rightarrow |6| > |1| + |2|$

$|c_{33}| \ge |c_{31}| + |c_{32}| \Rightarrow |5| > |1| + |-2|.$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard

Enoncé

Si $A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] })$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

Démonstration

Par la contraposée. Supposons A non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro,
il existe donc : $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq 0$ tel que AX = 0 .
On a alors : $\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j =0 .$
Comme $X \neq 0$, il existe $x_{i_0} \neq 0$ tel que $|x_{i_0}|=\max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}$.
On a : $-a_{i_0,i_0}x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}x_j$ , d'où $|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}x_j|$ ,
et comme : $\forall j \in [\![1,n]\!],\ \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1$ ,
on obtient $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$
Finalement, $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$ , ce qui termine la démonstration.

Voir aussi

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