Matrice de Hessenberg

En algèbre linéaire, une matrice de Hessenberg est une matrice qui est « presque » triangulaire. Pour être exact, tous les éléments d'une matrice de Hessenberg supérieure qui se trouvent en dessous de la première sous-diagonale (ie diagonale en dessous de la diagonale principale) sont des zéros ; une matrice de Hessenberg inférieure a tous ses éléments situés au-dessus de la première super-diagonale (ie diagonale au-dessus de la diagonale principale) égaux à zéro^[1]. Ces matrices tirent leur nom du mathématicien et ingénieur Karl Hessenberg.

Par exemple :

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

est une matrice de Hessenberg supérieure.

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 7 \\ 5 & 6 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

est une matrice de Hessenberg inférieure.

Programmation sur ordinateur

De nombreux algorithmes peuvent être simplifiés (nombre d'opérations réduit) lorsqu'ils s'appliquent à des matrices triangulaires et ces simplifications s'appliquent généralement aussi bien aux matrices de Hessenberg. Les contraintes d'un problème d'algèbre linéaire ne permettent pas toujours de réduire convenablement une matrice quelconque en une matrice triangulaire ; la réduction vers une forme de Hessenberg est alors souvent la deuxième meilleure solution. La réduction de n'importe quelle matrice en une matrice de Hessenberg peut être réalisée en un nombre fini d'itérations (par exemple, à l'aide de l'algorithme de Householder). La réduction d'une matrice de Hessenberg vers une matrice triangulaire peut ensuite être réalisée à l'aide de méthodes itératives telles que la décomposition QR avec des décalages (shift en anglais). Réduire une matrice quelconque en une matrice de Hessenberg puis réduire cette dernière en une matrice triangulaire, plutôt que de réduire directement une matrice quelconque en une matrice triangulaire économise généralement les calculs nécessaires dans l'algorithme QR pour les problèmes de valeurs propres.

Propriétés

Le produit d'une matrice de Hessenberg par une matrice triangulaire est une matrice de Hessenberg. Plus précisément si A est une matrice de Hessenberg supérieure et T est une matrice triangulaire supérieure, alors AT et TA sont des matrices de Hessenberg supérieures.

Notes

1. ↑ Horn & Johnson (1985), page 28; Stoer & Bulirsch (2002), page 251

Références

• (en) Horn Roger A. and Johnson Charles R., Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985 (ISBN 978-0-521-38632-6) 

• (en) Stoer Josef and Bulirsch Roland, Introduction to Numerical Analysis, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2002 (ISBN 978-0-387-95452-3) 

• Hessenberg matrix, en.wikpedia. Consulté le 14 juillet 2009

Liens externes

• Hessenberg matrix at MathWorld.
• Hessenberg matrix at PlanetMath.