Matrice de Pauli

Matrices de Pauli

Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2).

Elles sont définies comme l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(où i est l’unité imaginaire des nombres complexes)

Ces matrices sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

Propriétés

Identités

• $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2$
• $\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$
• $\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$
• $\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$
• $\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ pour }i\ne j\,\!$

Autres propriétés

Le déterminant et la trace des matrices de Pauli sont :

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \end{matrix}\quad \hbox{pour}\ i \in \{1; 2; 3\}$

Par conséquent, les valeurs propres de chaque matrice sont $\pm 1$.

Les matrices de Pauli obéissent aux relation de commutativité et anticommutativité suivantes :

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix}$

où ε_ijk est le symbole de Levi-Civita, δ_ij est le delta de Kronecker et I est la matrice identité. Les relations ci-haut peuvent être vérifiées en utilisant :

$\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot I$.

Ces relations de commutativité sont semblables à celles sur l'algèbre de Lie su(2) et, en effet, su(2) peut être interprétée comme l'argèbre de Lie de toutes les combinaisons linéaires de l'imaginaire i fois les matrices de Pauli iσ_j, autrement dit, comme les matrices anti-hermitiennes 2×2 avec trace de 0. Dans ce sens, les matrices de Pauli génèrent su(2). Par conséquent, iσ_j peut être vu comme les générateurs infinitésimaux du groupe de Lie correspondant SU(2) .

L'algèbre de su(2) est isomorphe à l'algèbre de Lie so(3), laquelle correspond au groupe de Lie SO(3), le groupe des rotations en trois dimensions. En d'autres termes, les iσ_j sont des réalisations de rotations « infinitésimales » dans un espace à trois dimensions (en fait, ce sont les réalisations de plus basse dimension).

Physique

En mécanique quantique les iσ_j représentent les générateurs des rotations sur les particules non relativistes de spin ½. L'état de ces particules est représenté par des spineurs à deux composantes, ce qui est la représentation fondamentale de SU(2). Une propriété intéressante des particules de spin ½ est qu'elles doivent subir une rotation de 4π radians afin de revenir dans leur configuration d'origine. Ceci est dû au fait que SU(2) et SO(3) ne sont pas globablement isomorphes, malgré le fait que leur générateur infinitésimal, su(2) et so(3), sont isomorphes. SU(2) est en fait une « revêtement de degré deux » de SO(3) : à chaque élément de SO(3) correspondent deux éléments de SU(2).

En mécanique quantique à plusieurs particules, le groupe de Pauli G_n est également utile. Il est défini comme tous les produits tenseurs à n dimensions de matrices de Pauli.

Avec la matrice identité I, parfois dénotée σ₀, les matrices de Pauli forment une base de l'espace vectoriel réel des matrices hermitiennes complexes 2 × 2. Cette base est équivalente aux quaternions. Lorsque qu'utilisée comme base pour l'opérateur de rotation de spin ½, est est identique à celle pour la représentation de rotation de quaternion correspondante.

Voir aussi

• Moment angulaire
• Matrices de Gell-Mann
• Groupe de Poincaré

Référence

• (en) Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley. ISBN 0805387145.

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