Matrice equivalente

Matrice équivalente

En mathématiques, deux matrices de même taille (m,n), A et B sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux matrices inversibles P et Q (respectivement de tailles (n,n) et (m,m)) telles que A = QBP ^{− 1}

Il s'agit d'une relation d'équivalence sur chaque ensemble de matrices d'une taille donnée.

Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire $f:V\to W$ par rapport à deux couples (un pour A et un pour B) de bases (une base de V et une base de W) bien choisis. On pourra alors trouver des matrices P et Q qui établissent l'équivalence de A et B, en prenant P égale à la matrice de passage de la base de V utilisée pour A à la base de V utilisée pour B, et Q égale à la matrice de passage de la base de W utilisée pour A à la base de W utilisée pour B. C'est pour accommoder ces choix que c'est l'inverse de P qui figure dans la définition ci-dessus.

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, qui est la plus petite dimension r telle que f puisse s'écrire comme la composée $f_2\circ f_1$ d'une application linéaire $f_1:V\to X$ et d'une application linéaire $f_2:X\to W$ avec X un espace de dimension r.

Il ne faut pas confondre la notion de matrices équivalentes avec celle de matrices semblables. Deux matrices nécessairement carrées sont semblables si elles peuvent représenter la même application linéaire $f:V\to V$ par rapport à deux bases de V bien choisies; la différence avec la notion d'équivalence est qu'ici on n'a pas le droit de choisir la base à l'arrivée independamment de la base au départ. Ainsi, tandis que deux matrices semblables sont forcément équivalentes, la réciproque est loin d'être vraie. En effet, deux matrices carrées dont les polynômes caractéristiques sont distincts ne peuvent pas être semblables, mais elles seront équivalentes dès qu'elles ont le même rang (par exemple si elles sont inversibles toutes les deux).

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