Matrice hamiltonienne

En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

$K= \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$

et I_n étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, A est hamiltonienne si et seulement si :

$KA - A^T K^T = KA + A^T K = 0.\,$

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n² + n.

Propriétés

• Soit M une matrice par bloc 2n×2n donnée par :

  $M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$

  où A,B,C,D sont des matrices n×n. Alors M est une matrice hamiltonienne à condition que B,C soient symétriques et que A + D^T = 0.

• La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
• La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
• Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
• Les valeurs propres de M sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie ${\mathfrak{Sp}}(2n)$^[1].

Opérateurs hamiltoniens

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique Ω. Une application linéaire $A:\; V \mapsto V$ est appelée opérateur hamiltonien par rapport à Ω si l'application $x, y \mapsto \Omega(A(x), y)$ est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

Ω(A(x),y) = − Ω(x,A(y))

Soit une base e₁,...e_2n de V telle que Ω soit écrite $\sum_i e_i \wedge e_{n+i}$. un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à Ω si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne^[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi

• Matrice symplectique

Références

1. ↑ (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
2. ↑ (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1^er février 2005, Pages 385-390

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hamiltonian matrix » (voir la liste des auteurs)