Mesure Finie

Mesure finie

Sur un espace mesurable $(X,\mathcal{A})$, une mesure finie ou mesure bornée est une mesure (réelle ou complexe) μ dont la masse | μ | (X) (valeur de la variation totale | μ | sur X) est finie.

Fonctions intégrables

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie μ ; et on dispose de la majoration :

$\left|\int_Xf.d\mu\right|\leq \|f\|_{\infty}.|\mu|(X)$

Exemples de mesures finies

• La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
• Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
• Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
• Pour une mesure complexe ν pas nécessairement finie, et pour une fonction mesurable ν-intégrable, la variation totale de la mesure f.ν est exactement | f | . | ν |  ; de fait, la mesure f.ν est finie.

Espace des mesures finies

Toute somme de mesures finies est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie. Les mesures bornées forment un espace vectoriel complexe $\mathcal{M}(X,\mathcal{A})$. De plus, on définit la norme :

$\|\mu\|=|\mu|(X)$

Pour cette norme, c'est un espace de Banach.

Pour toute mesure ν, l'application $f\mapsto f.\nu$ induit une isométrie de $L^1(X,\mathcal{A})$ sur un sous-espace vectoriel fermé de $\mathcal{M}(X,\mathcal{A})$. Ce sous-espace est exactement l'ensemble des mesures finies absolument continues par rapport à ν.

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