Methode de Laplace

Méthode de Laplace

En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :

$\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\,$

où f est une fonction deux fois dérivable, M est un grand nombre réel et les bornes a et b peuvent éventuellement être infinies.

Principe de la méthode

Pour M>0, si l'on suppose que la fonction f admet un unique maximum au point x₀ alors pour M grand seuls les points au voisinage de x₀ contribuent de façon significative à l'intégrale:

$\int_a^b\! e^{M f(x)}dx. \,$

Si M est négatif en considérant -M et -f on peut se ramener à considérer les maximums de -f donc les minimums de f

Méthode de Laplace, cas général

Pour appliquer la méthode de Laplace un certain nombre de conditions sont requises. x₀ ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et f(x) ne peut s'approcher de la valeur f(x₀) qu'au voisinage de x₀.

Par application du théorème de Taylor, au voisinage de x₀, f(x) s'écrit :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + O\left( (x-x_0)^3 \right)$.

Puisque f admet un maximum en x₀, qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, $f\, '(x_0)=0$ et $f\, ''(x_0)<0$, on a alors dans un voisinage de x₀ :

$f(x) \approx f(x_0) - \frac{1}{2} |f''(x_0)| (x-x_0)^2$

Et pour l'intégrale :

$\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx e^{M f(x_0)}\int_a^b\! e^{-M|f''(x_0)| (x-x_0)^2/2}dx$

La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes a et b par −∞ et +∞ et l'on a alors:

$\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|f''(x_0)|}}e^{M f(x_0)} \mbox { as } M\to\infty. \,$

Le remplacement des bornes par −∞ et +∞ est numériquement valide car, quel que soit $k \in \N , \, e^{-M|f''(x_0)| (x-x_0)^2/2}$ est un $o\left((x-x_0)^{-k}\right)$

Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où x₀ est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de x₀ ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de f auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour

$I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz\,$

Exemple : formule de Stirling

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :

Pour N grand :$N!\approx \sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\,$

Par définition de la fonction Gamma, on a

$N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx. \,$

Avec un changement de variable $x = N z \,$ on obtient :

$N! \,$	$= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz \,$
	$= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N z} z^N dz \,$
	$= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N z} e^{N\ln z} dz \,$
	$= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz. \,$

En considérant la fonction:

$f \left( z \right) = \ln{z}-z$

f est deux fois dérivable :

$f'(z) = \frac{1}{z}-1\,,$

$f''(z) = -\frac{1}{z^2}.\,$

f est maximum en z=1 et sa dérivée seconde vaut -1 en 1, on a alors avec la méthode de Laplace:

$N! \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}.\,$

References

• P. Deift, X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2), v.137 (1993), no. 2, 295–368.
• A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956.

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