Methode du point col

Méthode du point col

En mathématiques, la méthode du point col (ou méthode de la descente rapide) permet d'évaluer le comportement asymptotique d'une intégrale complexe du type :

$I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz\,$

lorsque $\lambda\rightarrow +\infty$. $\mathcal{C}$ est un chemin d'intégration du plan complexe. f et g sont deux fonctions analytiques, et on note z = x + iy, g(z) = u(z) + iv(z) = u(x,y) + iv(x,y). Bien que reposant sur des concepts différents, la méthode du point col est généralement considérée comme l'extension de la méthode de la phase stationnaire aux intégrales complexes.

Idée générale

L'idée générale de la méthode consiste à déformer le chemin d'intégration grâce au théorème de Cauchy afin d'utiliser un chemin particulier γ, le chemin de descente rapide, sur lequel la partie imaginaire (c’est-à-dire la partie oscillante de l'exponentielle) de la fonction g est constante.

$I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz = \int_\mathcal{\gamma} f(z)e^{\lambda u(z)} e^{i \lambda v(z)} \, dz$

L'intégrale peut alors s'évaluer grâce à la méthode de Laplace. En notant z_s le point col de la fonction g, c’est-à-dire le point pour lequel $\partial g/\partial z(z_s)=0$, on a:

Un exemple classique : la formule de Stirling

On veut retrouver la formule de Stirling :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$

En utilisant $n! = \int_0^{\infty}x^n e^{-x}dx$, pour n grand ,

il apparaît un col dans la fonction exp [ n.ln(x)-x], au point x= n,

ce qui conduit à changer de variable : x = y + n .

Le crochet s'écrit alors [] = n.ln(n)-n -y.y/2n + f(y,n).

En étant prudent, le terme f(y,n) ne joue que "peu de rôle" et quand n tend vers l'infini le terme en y^2 donne, via l'intégrale gaussienne usuelle, sqrt(2.Pi.n). Un raffinement donne sqrt(2.Pi.(n+1/6)), mais...

Une application : la mécanique statistique

En mécanique statistique, on passe très souvent de l'équilibre "microcanonique" à l'équilibre "canonique". Le passage est, dans la limite thermodynamique des grands nombres de particules N, effectué par la méthode du col, dans une manière tout à fait similaire à l'exemple précédent. Schrödinger a été un grand promoteur de ce genre de calculs. Bien sûr, il l'a étendu à tous les calculs de transformée de Legendre, en particulier pour introduire le potentiel chimique.

Références

• N. Bleistein, R.A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986 [1975].
• L.B. Felsen, N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, IEEE-Wiley, 1994 [1972], chap. 4.
• E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.

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