Modulation de frequence

Modulation de fréquence

Un exemple de modulation de fréquence. En haut, le signal (en rouge) superposé avec la fréquence porteuse (en vert). En bas, le résultat du signal (en bleu) une fois modulé par la fréquence.

La modulation de fréquence ou MF ou FM est un mode de modulation consistant à transmettre un signal par la modulation de la fréquence d'un signal porteur (porteuse).

On parle de modulation de fréquence par opposition à la modulation d'amplitude. En modulation de fréquence, l'information est portée par une modification de la fréquence de la porteuse, et non par une variation d'amplitude. La modulation de fréquence est plus robuste que la modulation d'amplitude pour transmettre un message dans des conditions difficiles (atténuation et bruit importants).

Pour des signaux numériques, on utilise une variante appelée frequency-shift keying ou FSK. La FSK utilise des fréquences discrètes.

Exemples

• les modems (modulateur-demodulateur) bas débit utilisent la modulation de fréquence ;
• les téléphones analogiques utilisent la modulation de fréquence pour composer le numéro : chaque chiffre est codé par une combinaison de deux fréquences pour former un code DTMF. Il s'agit d'une modulation FSK qui utilise plus de deux fréquences (MFSK, multiple frequency-shift keying) ;
• les radios de la « bande FM » émettent, comme leur nom l'indique, en modulation de fréquence sur la bande VHF II.

Théorie

On suppose que le signal à transmettre est :

$x_m(t)\,$

avec la restriction suivante sur l'amplitude :

$\left| x_m(t) \right| \le 1 \,$

La porteuse sinusoïdale est :

$x_p(t) = A \cos (2 \pi f_p t)\,$

où f_p est la fréquence de la porteuse en hertz et A une amplitude arbitraire. Le signal modulé en FM est le suivant :

$x_t(t) = A \cos \left( 2 \pi \int_{0}^{t} f(\tau)\, d \tau \right) = A \cos \left( 2 \pi \int_{0}^{t} \left[ f_p + f_\Delta x_m(\tau) \right] \, d \tau \right)$

où f(t) = f_p + f_Δx_m(t)

Dans cette équation, f(t) est la fréquence instantanée de l'oscillateur et f_Δ la déviation en fréquence, qui correspond à la déviation maximale par rapport à la fréquence de la porteuse f_p, en supposant que x_m(t) est limité à l'intervale [-1; +1].

Bien qu'à première vue on puisse imaginer que les fréquences soient limitées à l'intervalle f_p ± f_Δ, ce raisonnement néglige la distinction entre fréquence instantanée et fréquence spectrale. Le spectre harmonique d'un signal FM réel possède des composantes qui vont jusqu'à des fréquences infinies, bien qu'elles deviennent rapidement négligeables.

De façon simplifiée, le spectre d'une porteuse sinusoïdale modulée en FM par un signal sinusoïdal peut être représenté par une fonction de Bessel, ce qui permet de modéliser formellement l'occupation spectrale d'une modulation FM.

De façon approchée, la règle de Carson indique qu'à peu près toute la puissance (~98%) d'un signal modulé en fréquence est comprise dans la bande de fréquences :

$2(f_\Delta +f_m)\,$

où f_Δ est la déviation maximale de la fréquence instantanée f(t) à partir de la fréquence de la porteuse f_p (en supposant que x_m(t) est dans l'intervalle [-1; +1]), et f_m est la plus grande fréquence du signal à transmettre x_m(t).

Note : la modulation de fréquence peut être vue comme un cas particulier de la modulation de phase où la modulation en phase de la porteuse est l'intégrale temporelle du signal à transmettre.

Dans l'usage courant, la fréquence de modulation est toujours inférieure à la fréquence porteuse, mais ne pas suivre cette règle peut donner des résultats intéressants, notamment en synthèse sonore.

Cas d'un signal sinusoïdal

La modulation d'une porteuse sinusoïdale par un signal sinusoïdal de fréquence moindre peut s'écrire ainsi :

$x_p(t) = A \cos(2\pi f_pt + \beta \sin(2\pi f_m t)) = A \sum_{n=-\infty}^{+\infty} J_n(\beta) \cos(2\pi (f_p + n f_m) t)\,\!$

$A\,\!$ : amplitude du signal	$f_p\,\!$ : fréquence porteuse	$J_n(\beta)\,\!$ : fonction de Bessel de première espèce
$\beta\,\!$ : indice de modulation	$f_m\,\!$ : fréquence de modulation	$n\,\!$ : rang harmonique de fm, $n \in \mathbb{N}$

En faisant varier β, on fait varier l'intensité de la modulation, donc l'écart entre la fréquence la plus grande et la plus petite, qui alternent à la fréquence f_m.

Cas de la FSK

En FSK, le signal x_m peut prendre un ensemble de valeurs discrètes x_i (par exemple deux dans les modulations binaires), ce qui donne pendant la transmission d'une valeur x_i :

$x_p(t) = A \cos \left( 2 \pi \int_{0}^{t} \left[ f_p + f_\Delta x_i \right] \, d \tau \right) = A \cos \left( 2 \pi \left[ f_p + f_\Delta x_i \right] t \right)$

On voit ainsi que la fréquence instantanée ne peut prendre qu'un ensemble discret de valeurs, une valeur pour chaque valeur x_i du signal à transmettre.

Voir aussi

• Edwin Howard Armstrong
• Frequency-shift keying
• Modulation d'amplitude

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