Module Quotient

Module Quotient: Module quotient

En mathématiques, un Module quotient est l'ensemble quotient d'un module donné par un de ses sous A-module.

Définition

Soient $M$ un module sur un anneau A et $N$ un A-sous module de $M$ .

On définit la relation d'équivalence $R$ suivante : $\forall (x,y)\in M^2, xRy \Leftrightarrow (x-y)\in N$

Deux éléments de $M$ sont ainsi en relation si leur différence appartient au sous module $N$ , c’est-à-dire si $x$ et $y$ sont congrus modulo $N$ .

L'ensemble quotient $M / R$ , que l'on note alors $M / N$ , muni des deux opérations suivantes induites par $M$

$(x + N) + (y + N) = x + y + N$

$(x+N)\times (y+N) = (x\cdot y)+N$

est un module sur A, nommé A-module quotient de $M$ par $N$ .

Propriétés

C'est l'unique façon de munir le groupe abélien $M / N$ d'une structure de A-module pour que la projection canonique $\pi : M \rightarrow M/N$ soit un homomorphisme de A-module.

Pour tout morphisme de A-module $f : M \rightarrow L$ tel que $f (N) = {0 L}$ , il existe un unique morphisme de A-module $\tilde f:M/N \to L$ tel que $\tilde f \circ \pi = f$ .

Exemples

Si $N = M$ , $M / M$ est le module trivial ${0}$ .

Si $N = {0 M}$ , $M / {0}$ est isomorphe à $M$ .

Si $I$ est un idéal de A, alors $I M$ = $\{ \sum_{j \in J} a_j m_j$ où $a_j \in I$ , $m_j \in M$ et $J$ une partie de $\N$ $}$ est un sous A-module de M et $M / I M$ peut être muni d'une structure de module sur $A / I$ .

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Ce document provient de « Module quotient ».

Catégorie : Algèbre

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Module Quotient de Wikipédia en français (auteurs)

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