Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure des groupes.

Plus précisément, si (G, * ) et $(G',\star)$ sont deux groupes de neutres respectifs e et e', une application $f : G \rightarrow G' \,$ est un morphisme du groupe lorsque :

$\forall (x,y) \in G^2, \; f(x*y)=f(x) \star f(y)$

Les deux propriétés suivantes sont des conséquences de la définition :

$f(e)=e'\qquad\text{et}\qquad\forall x \in G,\; f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}.$

Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G.

On dit que f est un isomorphisme de groupes si f est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f ^{− 1} est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus $(G,*)=(G',\star)$, autrement dit si l'isomorphisme f est un endomorphisme, on dit que f est un automorphisme du groupe G .

Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes.

Liens avec les sous-groupes

Par un morphisme de groupes $f:G\to G',$

• l'image réciproque f ^{− 1}(H') de tout sous-groupe H' de G' est un sous-groupe de G, et si de plus H' est normal dans G' alors f ^{− 1}(H') est normal dans G.
• l'image directe f(H) de tout sous-groupe H de G est un sous-groupe de G', et si de plus H est normal dans G alors f(H) est normal dans f(G) (donc dans G' si f est surjectif).

Noyau et image

Comme pour toute application, l'image d'un morphisme de groupes ${}^{f:G\to G'}$ est définie par :

$\operatorname{im}(f)=f(G),$

et f est surjectif si et seulement si son image est égale à G'.

Le noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) est plus spécifique aux morphismes. On appelle noyau du morphisme f  l'ensemble

$\ker(f)=f^{-1}(\{e'\}),~$

et f est injectif si et seulement si son noyau est réduit à {e}.

Pour tout morphisme ${}^{f:G\to G'}$, ${}^{\operatorname{im}(f)}$ est un sous-groupe de G' et ker(f) est un sous-groupe normal de G.

Isomorphismes de groupes

Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes qui est bijectif.

Lorsqu'il existe un isomorphisme du groupe G vers le groupe G', sa bijection réciproque est un isomorphisme du groupe G' vers le groupe G ; on dit alors que les deux groupes sont isomorphes, ce que l'on note ${}^{G\simeq G'}$.

Automorphismes de groupe

Un automorphisme de groupe est un morphisme qui est à la fois un isomorphisme de groupes et un endomorphisme de groupe

Un automorphisme du groupe G vers le groupe G' respecte G = G'

L'ensemble des automorphismes du groupe G est généralement noté Aut(G). Cet ensemble, muni de la loi de composition est un groupe.

Théorèmes d'isomorphisme

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

Les trois théorèmes d'isomorphisme suivants sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphisme

f induit un isomorphisme du groupe quotient $G/ \ker f \,$ vers $f(G) \,$.

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors $H \cap N$ est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

$H/(H \cap N) \simeq NH/N.$

Troisième théorème d'isomorphisme

Soient N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N/M est un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/N)/(N/M)\simeq G/M.$

Bibliographie

• Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984.
• Bernard Charles et Denis Allouch, Algèbre générale, Paris, PUF, 1984.