Moyenne Géométrique


Moyenne Géométrique

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique de deux nombres a et b est un nombre c tel que:

\frac{a}{c}=\frac{c}{b}

Géométriquement, ce nombre c est l'arête d'un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque dans ce cas:

c2 = a.b

On peut calculer directement la moyenne géométrique de deux nombres en prenant la racine carrée de l'expression précédente:

c = \sqrt{a.b} = (a.b)^{1/2}

Sous cette dernière forme, on voit que le logarithme transforme l'expression en une moyenne arithmétique. D'où la généralisation: la moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs discrètes positives non nulles de la distribution.

Sa formulation mathématique peut se faire comme suit :

\log{\bar{x}} = \frac{\log{x_1} + \log{x_2} + .. .. + \log{x_n}}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{\log{x_i}}.

On en déduit :

\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times .. .. \times x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^n{x_i}}.

Pour une série statistique dont le nombre total d’occurrences est infini ou inconnu, mais dont le nombre de valeurs positives non nulles possibles est fini et leurs fréquences respectives dans la série sont connues, la formulation mathématique devient :

\log{\bar{x}} = f_1.\log{x_1} + f_2.\log{x_2} + .. .. +  f_n.\log{x_n} = \sum_{i = 1}^n{f_i.\log{x_i}}, où \sum_{i = 1}^n{f_i} = 1.

On en déduit :

\bar{x} = \exp(f_1.\log{x_1} + f_2.\log{x_2} + .. .. + f_n.\log{x_n}) = \exp(\sum_{i = 1}^n{f_i.\log{x_i}}),

d’où :

\bar{x} = {x_1}^{f_1} \times {x_2}^{f_2} \times .. ..  \times {x_n}^{f_n} = \prod_{i = 1}^n{{x_i}^{f_i}}.

La moyenne géométrique d'une distribution f d'une variable continue à valeur dans un intervalle scalaire fini [x0, x1] est la généralisation à la limite de la formule statistique discrète précédente :

\log{\bar{f}_{x_0}^{x_1}} = \int_{x_0}^{x_1}{\log{x}.f(x).dx},

d’où :

\bar{f}_{x_0}^{x_1} = exp\left(\int_{x_0}^{x_1}{\log{x}.f(x).dx}\right), où \int_{x_0}^{x_1}{f(x).dx} = 1.

Sa dimension n'est pas une fréquence, mais est celle de sa variable continue.

Si la distribution f est définie sur toutes les valeurs réelles de sa variable continue, la moyenne géométrique de la distribution est :

\bar{f} = exp\left(\int_{-\infin}^{+\infin}{\log{x}.f(x).dx}\right), où \int_{-\infin}^{+\infin}{f(x).dx} = 1.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Moyenne g%C3%A9om%C3%A9trique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Moyenne Géométrique de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Moyenne geometrique — Moyenne géométrique La moyenne géométrique de deux nombres a et b est un nombre c tel que: Géométriquement, ce nombre c est l arête d un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque dans ce cas: c2 = a.b On… …   Wikipédia en Français

  • Moyenne géométrique — ● Moyenne géométrique racine nième du produit de n observations positives ou nulles …   Encyclopédie Universelle

  • Moyenne géométrique — La moyenne géométrique de deux nombres a et b est un nombre c tel que : Géométriquement, ce nombre c est l arête d un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque dans ce cas : . On peut calculer… …   Wikipédia en Français

  • moyenne géométrique — geometrinis vidurkis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, išreiškiamas n ąja šaknimi iš matuojamojo dydžio n verčių sandaugos. atitikmenys: angl. geometric average; geometric mean; geometrical mean vok. geometrisches …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • moyenne géométrique — geometrinis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. geometric average; geometric mean; geometrical mean vok. geometrisches Mittel, n rus. среднегеометрическое значение, n; среднее геометрическое, n pranc. moyenne géométrique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Moyenne Géométrique Pondérée — En statistiques, si on considère le jeu de données suivant : X = { x1, x2, ..., xn} et les poids associés : W = { w1, w2, ..., wn} la moyenne géométrique pondérée se calcule de la manière suivante : Si tous les poids sont égaux, la …   Wikipédia en Français

  • Moyenne geometrique ponderee — Moyenne géométrique pondérée En statistiques, si on considère le jeu de données suivant : X = { x1, x2, ..., xn} et les poids associés : W = { w1, w2, ..., wn} la moyenne géométrique pondérée se calcule de la manière suivante : Si… …   Wikipédia en Français

  • Moyenne géométrique pondérée — En statistiques, si on considère l ensemble de données suivant : X = { x1, x2, ..., xn} et les poids associés : W = { w1, w2, ..., wn} la moyenne géométrique pondérée se calcule de la manière suivante : Si tous les poids sont égaux …   Wikipédia en Français

  • Moyenne (mathématiques élémentaires) — Moyenne Pour les articles homonymes, voir Valeur moyenne. La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu aurait chacun des membres de l ensemble s ils étaient tous… …   Wikipédia en Français

  • Moyenne générale — Moyenne Pour les articles homonymes, voir Valeur moyenne. La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu aurait chacun des membres de l ensemble s ils étaient tous… …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.