Médiane (statistiques)

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En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane d'un ensemble de valeurs (échantillon, population, distribution de probabilités) est la valeur m telle que le nombre de valeurs de l'ensemble supérieures ou égales à m est égal au nombre de valeurs inférieures ou égales à m. Intuitivement, on peut dire que la médiane est le point milieu de l'ensemble^[1], qu'elle divise en deux moitiés. C'est une caractéristique de position de la série. On peut déterminer une médiane pour un ensemble de valeurs non numériques^[1] pour autant qu'on puisse choisir un critère d'ordonnancement de ces valeurs.

Mode de calcul

Pour déterminer la médiane d'un ensemble de valeurs, il suffit d'ordonner les valeurs en une liste croissante et de choisir la valeur qui est au centre de cette liste. Pour une liste ordonnée de 2N+1 éléments, la valeur du (N+1)-ième élément est la médiane. Pour une liste ordonnée de 2N éléments, toute valeur comprise entre l'élément N et l'élément N+1 est une médiane; en pratique, dans la cas d'une liste de nombres, c'est la moyenne arithmétique de ces deux valeurs centrales qui est le plus souvent utilisée.

Exemples

• Ensemble de 7 entiers: 12, 5, 6, 89, 5, 2390, 1. Après tri, la série est 1, 5, 5, 6, 12, 89, 2390. La médiane est le 4^e élément de cette série, donc 6: quatre valeurs de l'ensemble sont inférieures ou égales à 6, et quatre sont supérieures ou égales à 6.
• Ensemble de 6 entiers: 12, 5, 6, 89, 5, 1. Après tri, la série est 1, 5, 5, 6, 12, 89. Toute valeur comprise entre le 3^e et le 4^e éléments de cette série, donc entre 5 et 6, peut être choisie comme médiane. Trois éléments sont inférieurs ou égaux à 5,1 et trois y sont supérieurs, donc 5,1 est une médiane, mais c'est aussi le cas de 5,14159 ou de 5,5. On prendra généralement cette dernière valeur comme médiane puisqu'elle est la moyenne arithmétique des deux éléments centraux 5 et 6.
• Supposons 21 personnes dans une pièce. Chacune prend l'argent de sa poche et le pose sur une table: 20 personnes posent 5 euros, et la dernière pose 10 000 euros. La médiane est l'élément central, le onzième, de la liste ordonnée 5, 5, 5, ..., 5, 10 000; c'est donc 5: onze personnes détenaient chacune au moins 5 euros, et onze détenaient au plus 5 euros. On remarque que si la personne la plus riche ne s'était pas présentée, la médiane aurait été la même (5€), mais la moyenne aurait radicalement changé (5€ au lieu de 480,95€).
• Un sondage express réalisé auprès de 50 utilisateurs de Wikipédia révèle que 12 des sondés se disent très satisfaits, 7 très insatisfaits, 20 plutôt satisfaits et les autres se disent plutôt insatisfaits. Cet ensemble de réponses peut être rangé par satisfaction croissante, et on obtient une liste de cinquante éléments dans cet ordre: 7 très insatisfaits, 11 plutôt insatisfaits, 20 plutôt satisfaits, 12 très satisfaits. Les deux éléments centraux, le 25^e et le 26^e, ont la même valeur: "plutôt satisfait". Cette valeur est donc la valeur médiane de l'ensemble des réponses.

Mesure de la dispersion statistique

Lorsque la médiane est utilisée pour situer des valeurs en statistiques descriptives, il existe différentes possibilités pour exprimer la variabilité : L'étendue, l'écart interquartile et l'écart absolu. Puisque la médiane est la même valeur que le deuxième quartile, son calcul est détaillé dans l'article sur les quartiles.

Médianes dans les distributions de probabilités

Pour chacune des distributions de probabilités sur la ligne des nombres réels avec une fonction de distribution cumulative, F, peu importe s'il s'agit d'une distribution continue de probabilités ou d'une distribution discrète de probabilités, une médiane m satisfait l'égalité :

$P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}^m dF(x)$

dans laquelle une intégrale de Riemann-Stieltjes apparaît. Pour une distribution de probabilités absolument continue avec une densité de probabilité f, il y a :

$P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}^m f(x)\, dx=0,5.$

Médianes de certaines distributions

Pour toutes les distributions symétriques, la médiane est égale à l'espérance.

• La médiane de la loi normale d'espérance μ et de variance σ² est μ. Pour cette distribution, espérance = médiane = mode.
• La médiane de la loi uniforme dans l'intervalle [a, b] est (a + b) / 2, qui est aussi l'espérance.
• La médiane de la loi de Cauchy avec le critère de position x₀ et le paramètre d'échelle y est x₀, le critère de position.
• La médiane de la loi exponentielle avec le facteur d'échelle λ est la division du logarithme naturel de 2 par le facteur d'échelle, soit (ln 2)/λ.
• La médiane de la distribution de Weibull avec le facteur de forme k et le facteur d'échelle λ est λ(log 2)^1/k.

Médianes en statistiques descriptives

La médiane est principalement utilisée pour les distributions asymétriques, car elle les représente mieux que la moyenne arithmétique. Considérons l'ensemble { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La médiane est 2, tout comme le mode, ce qui est une meilleure mesure de tendance centrale que la moyenne arithmétique égale à 3,166….

Le calcul de la médiane est couramment effectué pour représenter différentes distributions et elle est facile à comprendre, tout comme à calculer. Elle est aussi plus robuste que la moyenne en présence de valeurs extrêmes.

Propriétés théoriques

Propriété optimale

La médiane est aussi la valeur centrale qui minimise la valeur moyenne des écarts absolus. Dans la série donnée auparavant, ce serait (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5, plutôt que 1,944 à partir de la moyenne. En théorie des probabilités, la valeur c qui minimise

$E(\left|X-c\right|)\,$

est la médiane de la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Inégalité impliquant les moyennes et les médianes

Pour les distributions continues de probabilités, la différence entre la médiane et la moyenne est d'au plus d'un écart type.

Calcul efficace

Bien que le tri de n items prend en général O(n log n) opérations, il est possible de calculer la médiane de n items à l'aide de l'algorithme diviser pour régner en seulement O(n) opérations.

Notes et références

1. ↑ ^{a et b} Cf. Statistique Canada: Calcul de la médiane

Voir aussi

Articles connexes

• Médiale
• Médiane (mathématiques élémentaires)
• Quantile

Liens externes

• Calcul de la médiane
• (en) mathworld: Statistical Median