Méthode de Halley

Méthode de Halley

En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).

L'algorithme est itératif et de convergence cubique.

Il doit son nom à son inventeur, l'astronome Edmund Halley.

Sommaire

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

x_{n+1} = x_n - \frac {2 f(x_n) f'(x_n)} {2 {[f'(x_n)]}^2 - f(x_n) f''(x_n)}

à partir d'une valeur x0 proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

| xn + 1 − a | < K | xn − a | 3,

avec K > 0  ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

Déduction

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction g = f/\sqrt{f'} :

x_{n+1} = x_n - \frac {g(x_n)} {g'(x_n)},

avec

g'(x) = \frac {2 {[f'(x)]}^2 - f(x) f''(x)} {2 f'(x) \sqrt{f'(x)}},

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

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