Negligeable

Négligeable

En mathématiques, la notion de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la deuxième fonction est négligeable devant la première.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Définition en mathématiques

Soient I une partie de $\R$, a un point de l'adhérence de I, f et g des applications de I vers $\R$

Lorsque a est réel, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,x\in]a-\eta,a+\eta[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)$

Dans le cas où a est égal à $+\infty$, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists A>0,\,x\in[A,+\infty[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)$

Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer qu'une fonction l'emporte sur l'autre au voisinage d'un point a est, dans le cas où g est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

$\lim_{x\rightarrow a, x\not=a}{f(x) \over g(x)} = 0$

On écrit alors f = _ao(g) qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ».

Propriétés

• Si $f_1=_a o(g)\,$ et $f_2=_a o(g)\,$ alors pour tous réels α et β, $\alpha\,f_1 + \beta\,f_2=_a o(g)\,$
• Si $f_1=_a o(g_1)\,$ et $f_2=_a o(g_2)\,$ alors $f_1 . f_2=_a o(g_1.g_2)\,$
• Si $f=_a o(g)\,$ et $h\,$ bornée au voisinage de a alors $h.f=_a o(g)\,$
• Si $f_1 =_a o(g)\,$ et $f_2 =_a o(f_1)\,$ alors $f_2 =_a o(g)\,$ (transitivité)
• $f \sim_a g \Leftrightarrow f - g =_a o(g) \Leftrightarrow f =_a g + o(g)$

Echelle de comparaison

Une échelle de comparaison E_a est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a) telle que:
$\forall (f,g) \in {E_a}^2,\, f\ne g\ \Rightarrow (f=_a o(g)\ \mathrm{ou} \ g=_a o(f))\,$

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Définition

Soient une fonction $f\,$ définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur $V-\{a\}\,$, $E_a\,$ une échelle de comparaison en a. On dit que $f\,$ admet la fonction $g \in E_a\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_a\,$ si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que $f \sim_a A.g$ (ou f = _aA.g + o(g)).

Propriétés

• Unicité en cas d'existence
• Soient $f_1\,$ et $f_2\,$ admettant respectivement $g_1\,$ et $g_2\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$. La partie principale de $f_1.f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$ est la fonction $g_1.g_2\,$
• Soient $f_1\,$ et $f_2\,$ admettant respectivement $g_1\,$ et $g_2\,$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$.

1. Si $g_1 =_a o(g_2)\,$ alors $g_2\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$.
2. Si $g_2 =_a o(g_1)\,$ alors $g_1\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$.
3. Si $g_1 = g_2\,$ et que $A_1 + A_2 \ne 0\,$ alors $g_1\,$ est la partie principale de $f_1 + f_2\,$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a\,$.

Comparaison pour les suites

Définition

Une suite $(u_n)\,$ de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle $(v_n)\,$ lorsque :

$\forall\varepsilon >0,\,\exists N\in\N,\,n\ge N\,\Rightarrow\,u_n\le \varepsilon\,v_n$

Une définition équivalente : une suite $(u_n)\,$ de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle $(v_n)\,$ lorsqu'il existe une suite $(\varepsilon_n)_{n\geq N_0}\,$ de limite nulle tel que:

$\forall n\geq N_0,\qquad u_n=\varepsilon_nv_n\,$

On note: $u_n=o(v_n)\,$

Proposition équivalente

Une définition plus utile en pratique pour montrer qu'une suite est négligeable devant une autre est :

$u_n=o(v_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},n \geq N \Rightarrow |u_n| \leq \varepsilon |v_n|$

Voir aussi

• Équivalent

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