Nilradical

Soit A un anneau commutatif.

Définition

Le nilradical de A est l'ensemble des nilpotents de A.

En d'autres termes, c'est l'idéal radical de l'idéal réduit à 0.

Propriétés

En notant Nil(A) le nilradical de A, on a les énoncés suivants :

1) Nil(A) est un idéal.

2) L'anneau-quotient A/Nil(A) n'a pas d'éléments nilpotents (hormis 0).

3) Si P est un idéal premier de A, alors Nil(A) est inclus dans P.

4) Si s ∈ A mais s ∉ Nil(A), alors il existe un ideal premier P tel que s ∉ P.

5) Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A.

Les preuves des points 4 et 5 reposent sur l'axiome du choix.

Démonstrations :

1) Le point méritant justification est la preuve de la stabilité par addition. Soit x et y deux nilpotents, et m, n deux entiers strictement positifs tels que x^m=yⁿ=0. Dans le développement de l'expression (x+y)^m+n-1 par la formule du binôme de Newton, chaque terme est alors nul, donc aussi (x+y)^m+n-1=0.

2) Soit $\bar x$ un nilpotent de A/Nil(A), projection sur ce quotient d'un x de A, et soit m un entier tel que $\bar x^m$=0.

Par définition d'un anneau quotient, x^m est donc nilpotent, donc x aussi, donc $\bar x$=0 dans l'anneau quotient.

3) Soit x nilpotent, et m tel que x^m=0. En d'autres termes le produit x.x...x (avec m termes tous égaux à x) est nul. Il est donc élément de P. Par définition d'un idéal premier l'un des termes de ce produit doit être dans P, donc x appartient à P.

4) Soit s ∉ Nil(A), c'est-à-dire s non nilpotent. On note I l'ensemble des idéaux de A qui ne contiennent aucune puissance de s.

L'inclusion est un ordre inductif sur I (il est ici important de remarquer que I n'est pas vide car il contient l'idéal réduit à 0 - c'est là qu'on utilise la non-nilpotence de s). D'après le lemme de Zorn, I admet donc un élément maximal. Notons P un tel idéal maximal. On remarque que comme P ne contient aucune puissance de s, P est une partie stricte de A.

Supposons que P ne soit pas premier. C'est donc qu'il existe x et y n'appartenant pas à P tels que le produit xy ∈ P.

Comme x n'est pas dans P, l'idéal P + Ax contient strictement P, donc vu la maximalité de P au sein de I, P + Ax ne peut être élément de I - en d'autres termes il contient une puissance de x. Il existe donc un p ∈ P, un a ∈ A et un k entier positif tels que :

s^k=p+ax.

De même, il existe q ∈ P, b ∈ A et l entier positif tels que :

s^l=q+by.

On a alors :

s^k+l=(p+ax)(q+by)=pq + (ax)q + (by)p + (ab)(xy).

Or chacun des quatre termes de cette somme est dans P (les trois premiers parce que p et q y sont, le dernier parce que xy y est).

Donc s^k+l ∈ P, d'où la contradiction.

Donc P est un idéal premier.

5) C'est la synthèse des points 3) et 4).

Référence

• (en) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald (en), Introduction to Commutative Algebra, Cambridge, Addison-Wesley, 1969, 22^e éd. (ISBN 978-0-201-00361-1) (LCCN 72079530) , p. 5