Nombre Algébrique


Nombre Algébrique

Nombre algébrique

Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une équation algébrique (autrement dit racine d'un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnels). Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Les éléments d'un corps de nombres sont (par définition) des nombres algébriques.

Le polynôme irréductible unitaire ayant un tel nombre pour racine est appelé polynôme minimal de ce nombre. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent est l'objet de la théorie de Galois.

Sommaire

Exemples

  • Tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient \frac{p}{q}\, de deux entiers est racine de l'équation q x - p = 0\,.
  • Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple \sqrt{2}\, ou \frac{3^{\frac{1}{3}}}{2}\, sont algébriques, car ils sont les solutions de x^2~-~2=0\, et 8x^{3}~-~3=0\,, respectivement.
  • Le nombre complexe i\, est algébrique, car il est racine de l'équation x2 + 1 = 0.

Propriétés

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont appelés nombres transcendants. Presque tous les nombres complexes sont transcendants, parce que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable tandis que l'ensemble des nombres complexes, et par conséquent aussi l'ensemble des nombres transcendants, ne l'est pas. Les exemples les plus connus de nombres transcendants sont \pi\, et e\,. D'autres exemples sont fournis par le théorème de Gelfond-Schneider.

Tous les nombres algébriques sont calculables et par conséquent sont définissables.

Si un nombre algébrique est racine d'une équation polynômiale de degré n, et s'il n'est racine d'aucune équation polynômiale de degré strictement inférieur à n, on dit que c'est un nombre algébrique de degré n. Par exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels ; i et \sqrt{2} sont algébriques de degré 2.

Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynômiales sont appelés des éléments algébriques.

Le corps des nombres algébriques

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres algébriques sont encore algébriques (ce résultat n'est nullement évident ; la façon la plus simple de le démontrer passe par l'utilisation du résultant) ; par conséquent, les nombres algébriques forment un corps, habituellement noté \overline\mathbb{Q}  ; il est inclus dans \mathbb{C}. On a  \overline\mathbb{Q} \neq \mathbb{C} : en effet, il est connu que l'ensemble  \overline\mathbb{Q} est dénombrable, alors que \mathbb{C} ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants. On peut montrer que chaque racine d'une équation polynômiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est encore algébrique. Ceci peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos. En fait, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les nombres rationnels, et il est par conséquent appelé clôture algébrique du corps \mathbb{Q} des rationnels.

Tous les énoncés ci-dessus sont très facilement démontrés dans le contexte général des éléments algébriques d'une extension de corps.

Nombres définis par des radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre fini d'additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et d'extractions de racines n-ièmes (où n est un nombre entier positif) sont algébriques. La réciproque, néanmoins, n'est pas vraie : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière (c'est le théorème d'Abel–Ruffini); d'après la théorie de Galois, tous ces nombres sont de degré supérieur ou égal à  5. Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle de x^5-x-1=0\,.

Article détaillé : équation quintique.

Entiers algébriques

Article détaillé : entier algébrique.

Un nombre algébrique qui satisfait une équation polynômiale de degré n à coefficients ai appartenant à l'ensemble \mathbb{Z} des entiers, dont le premier coefficient an vaut 1 (c'est-à-dire qui est racine d'un polynôme monique), est appelé un entier algébrique. Ainsi, 3+2\sqrt{2}\, , racine de x2 − 6x + 1 et 2~-~5i\,, racine de x2 − 4x + 29, sont des entiers algébriques ; il en est de même du nombre d'or \frac{1+\sqrt 5}{2}, qui est racine de x2x − 1 ; ce dernier exemple montre que les "coefficients" d'un entier algébrique peuvent ne pas être entiers ; cette question est développée dans l'article consacré aux entiers quadratiques.

La somme, la différence et le produit d'entiers algébriques sont encore des entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau. Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout corps de nombres sont sous bien des aspects analogues aux entiers. Si \mathbb{K}\, est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau des entiers algébriques dans \mathbb{K}\,, et est fréquemment noté \mathcal{O}_{\mathbb{K}}\,. Ces anneaux sont les exemples les plus typiques d'anneaux de Dedekind.

Généralisation

Plus généralement : soient \mathbb{K} un corps, et \mathbb{L} une extension de \mathbb{K}. Un élément de \mathbb{L} est dit algébrique sur \mathbb{K} s'il est racine d'une équation polynomiale à coefficients dans \mathbb{K}, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb{K} dans le cas contraire.

La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où \mathbb{K} est le corps \mathbb{Q} des rationnels et \mathbb{L} est le corps \mathbb{C} des nombres complexes.

Classes particulières de nombres algébriques

Lien externe

  • (histoire des sciences) L'article de 1874 de Cantor sur la dénombrabilité des nombres algébriques en ligne et commenté sur le site BibNum.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Nombre alg%C3%A9brique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre Algébrique de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Nombre algebrique — Nombre algébrique Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d une équation algébrique (autrement dit racine d un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients… …   Wikipédia en Français

  • Nombre algébrique — ● Nombre algébrique élément z de C tel qu il existe une relation de la forme anzn + …+ a1z + a0 = 0, où ai ∊ Q. (Si an est égal à 1, z est un entier algébrique.) …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre algébrique — Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d une équation algébrique (autrement dit racine d un polynôme différent de zéro) à coefficients entiers (ou de manière équivalente, à coefficients rationnels). Sans plus de… …   Wikipédia en Français

  • Polynome minimal d'un nombre algebrique — Polynôme minimal d un nombre algébrique Carl Friedrich Gauß utilise des polynômes minimaux appelés cyclotomiques pour déterminer les polygones constructibles à la règle et au compas. En mathématiques, le polynôme minimal d un nombre algébrique… …   Wikipédia en Français

  • Polynôme minimal d'un nombre algébrique —  Ne doit pas être confondu avec Polynôme minimal d un endomorphisme. Carl Friedrich Gauß utilise des polynômes minimaux appelés cyclotomiques pour déter …   Wikipédia en Français

  • algébrique — [ alʒebrik ] adj. • XVIIIe; algébraïque 1585; de algèbre ♦ Relatif à l algèbre, qui s effectue par l algèbre. Calcul numérique et calcul algébrique. Mesure, quantité algébrique. Courbe, équation, fonction algébrique. Nombre algébrique. Topologie… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre+transcendant — Nombre transcendant En mathématiques, un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n est racine d aucune équation polynomiale : où et les coefficients sont des nombres entiers (donc des rationnels), dont au moins l un an est non …   Wikipédia en Français

  • Nombre Transcendant — En mathématiques, un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n est racine d aucune équation polynomiale : où et les coefficients sont des nombres entiers (donc des rationnels), dont au moins l un an est non nul. Un nombre ré …   Wikipédia en Français

  • nombre — [ nɔ̃br ] n. m. • déb. XIIe; lat. numerus I ♦ 1 ♦ Concept de base des mathématiques, une des notions fondamentales de l entendement que l on peut rapporter à d autres idées (de pluralité, d ensemble, de correspondance), mais non définir.… …   Encyclopédie Universelle

  • Nombre Complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres… …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.