Nombre Narcissique

Nombre narcissique

Un nombre narcissique n est un entier naturel pour lequel il existe un entier positif ou nul p tel que la somme de chacun des chiffres de n mis à la puissance p est égale à n.

Mathématiquement : Soit $n\in\mathbb{N}$. On définit le i-uplet d'entiers naturels $[\![x_1;x_i]\!], i\in\mathbb{N^*}, x_i \neq 0$ tel que $n=\sum_{j=1}^i~10^{j-1} x_j=\overline{x_i x_{i-1}...x_1}$. n est dit narcissique si et seulement si $\exists p \in\mathbb{N^*} | n=\sum_{j=1}^i~x_j^p$.

Inuitivement, il est clair que si i augmente, p tend à augmenter. Ci-dessous la démonstration.

Démonstration

Soit $n=\sum_{j=1}^i~10^{j-1} x_j.$ Comme $x_i\neq 0$, $n\ge 10^{i-1}$. D'autre part, $\forall j, x_j \le 9$. Donc $\sum_{j=1}^i~x_j^p \leq 9^p i$.

D'où n narcissique $\Longrightarrow 9^p i \ge 10^{i-1}$. Par théorème de croissance comparée, il vient que pour un i donné, p est nécessairement au-dessus d'un rang donné, qui croît avec i.

Remarque : Cela ne prouve pas pour autant l'existence de p !

Exemples :

153 = 13 + 53 + 33
548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46

Cas particuliers :

• $\forall p \in\mathbb{N^*}$, 0 est narcissique pour p.
• Un nombre narcissique pour p=3 est dit nombre d'Armstrong.

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Par extension, on parle aussi de nombre narcissique pour un entier qui peut être découpé en tranches égales d'un ou de plusieurs chiffres et dont la somme de ces tranches, élevée à une puissance entière naturelle, est égale à lui-même.

Exemples :

3025 = (30 + 25)2
4913 = (4 + 9 + 1 + 3)3

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