Nombre P-Adique


Nombre P-Adique

Nombre p-adique

En théorie des nombres, si p est un nombre premier, un nombre p-adique est un objet mathématique qui peut se concevoir comme une suite de chiffres en base p, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule). Avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels, l'ensemble des nombres p-adiques forme un corps noté \mathbb Q_p. Un nombre 2-adique est parfois appelé « diadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique. Un nombre 3-adique est parfois appelé « triadique ».

Chaque corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques est construit par complétion du corps \mathbb Q des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une norme particulière nommée norme p-adique. Cette construction s'apparente à celle du corps \R des nombres réels par complétion du corps des rationnels suivant la valeur absolue.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la norme p-adique sur le corps \mathbb Q_p est une norme non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Sommaire

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne.

Pour un nombre premier donné p, on définit la norme p-adique sur \mathbb Q comme suit :

on appelle valuation p-adique d'un entier a non nul (et l'on note vp(a)) l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers.
on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant :
v_p\left(\frac ab \right) = v_p(a) - v_p(b).
On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi.
La norme p-adique | r | p d'un rationnel r non nul vaut p^{-v_p(r)}.
Si r est nul, on pose | r | p = 0. Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par pk pour toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie.

En quelque sorte, plus r est divisible par p, plus sa norme p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Par exemple, pour r = {63 \over 550} = 2^{-1}\times 3^2\times 5^{-2}\times 7\times 11^{-1} :

|r|_2=2\,
|r|_3={1 \over 9}\,
|r|_5=25\,
|r|_7={1\over 7}\,
|r|_{11}=11\,
|r|_p=1\, pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une norme. On peut montrer que toute norme (non-triviale) sur \mathbb Q est équivalente soit à la norme euclidienne, soit à une norme p-adique (théorème d'Ostrowski). Une norme p-adique définit une métrique dp sur \mathbb Q en posant :

dp(x,y) = | xy | p

Le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique (\mathbb Q, dp). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient \mathbb Q.

Cette construction permet de comprendre pourquoi \mathbb Q_p est un analogue arithmétique de \mathbb R.

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit l'anneau des entiers p-adiques \mathbb Z_p comme la limite projective des anneaux \mathbb Z/p^n\mathbb Z. Un entier p-adique est alors une suite (a_n)_{n\ge 1} telle que a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z et que, si n < m, an = am[pn].

Par exemple, 35 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35 \ldots).

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite (an) dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps \mathbb Q_p des nombres p-adiques.

Décomposition canonique de Hensel

Soit p un nombre premier. Tout élément non nul r de \mathbb Q_p (et en particulier tout élément de \mathbb Q) s'écrit de manière unique sous la forme :

r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i

k \in \Z et les ai sont des nombres entiers compris entre 0 et p − 1. Cette écriture est la décomposition canonique de r comme nombre p-adique.

Cette série est convergente suivant la métrique p-adique.

On note \Z_p l'ensemble des éléments de \mathbb Q_p tels que k\ge 0 et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. \Z_p est un sous-anneau de \mathbb Q_p. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de \mathbb Q_p, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec p = 2 :

  • 1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2 (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
  • -1 = \sum_{n=0}^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2 : on peut vérifier que, puisque \ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0.
  • 3 = \ldots 000011_2
  • {1 \over 3} = 1 + \sum_{n=0}^\infty 2^{2n+1}= \ldots 01010101011_2 : en multipliant ce résultat par \ldots 000011_2, on retrouve 1.
  • \sum_{n=0}^\infty 2^{2^n} représente un élément de \mathbb Q_2 (et même de \mathbb Z_2) qui n'est pas dans \mathbb Z.
  • Le polynôme 2X2 + X + 2 se factorise dans \mathbb Z_2 sous la forme (Xa)(2Xb) avec a=\ldots 0111001000100110110_2 et b=\ldots 0001101110110010011_2, alors qu'il est irréductible dans \mathbb Q ou \mathbb R. On a 2a + b = − 1 et ab = 2.

Un autre exemple, avec p = 7 :

2 n'a pas de racine carrée dans \mathbb Q mais en possède deux dans \mathbb Q_7, à savoir : \sqrt{2} = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7 et son opposé : -\sqrt 2 = ...50422420224026305612301130043502554655400245450454_ 7

Propriétés

Dénombrabilité

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable.

Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment un corps de caractéristique nulle. Il n'est pas possible d'en faire un corps ordonné.

Topologie

La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets.

Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. En revanche, la clôture algébrique des nombres p-adiques est de degré infini : les corps \mathbb Q_p ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un \mathbb Q_p n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée Ωp et elle est algébriquement close.

Le corps Ωp, aussi noté \mathbb C_p, est abstraitement isomorphe au corps \mathbb C des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Cependant, l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et il n'est pas possible d'en expliciter un.

Les nombres p-adiques contiennent le ne corps cyclotomique si et seulement si n divise p − 1. Par exemple, les 1er, 2e, 3e, 4e, 6e et 12e corps cyclotomiques sont des sous-corps de \mathbb Q_{13}.

Le nombre e (défini par la série \sum 1/n!) n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, ep (défini par la série \sum p^n/n!) est un nombre p-adique (sauf si p = 2, mais e4 est un nombre 2-adique), aussi e, défini comme une racine p-ème de ep, est un élément de la clôture algébrique de tous les corps p-adiques.

Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction

f:\mathbb Q_p \longrightarrow \mathbb Q_p,\,x\longmapsto\left\{\begin{matrix} \left({1 \over |x|_p}\right)^2, & \mbox{si }x \ne \mbox{0} \\ 0, & \mbox{si }x=\mbox{0} \end{matrix}\right.

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas constante localement en 0.

Si on se donne les éléments r, r_2, r_3, r_5, r_7 \ldots respectivement membres de \R, \mathbb Q_2, \mathbb Q_3, \mathbb Q_5, \mathbb Q_7 \ldots, il est possible de trouver une suite (xn) de \mathbb Q telle que la limite des xn dans \R soit r et, pour tout p premier, elle soit rp dans \mathbb Q_p.

Rationalité

Un nombre positif γ0 est rationnel si, et seulement si, son développement p-adique est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire, s'il existe 2 entiers N \geq 0 et k > 0 tel que \forall n \geq N, a_{n+k}=a_{k} (La suite an représentant le développement p-adique du nombre γ0)

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