Nombre carré triangulaire

Un nombre carré triangulaire est un nombre qui est à la fois un nombre triangulaire et un nombre carré. Il y a une infinité de nombres carrés triangulaires, qui s'écrivent sous la forme

$N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2$.

Le problème de la recherche des nombres carrés triangulaires fut ramené à la résolution d'une équation de Pell-Fermat de la manière suivante.

Tout nombre triangulaire est de la forme n(n + 1) / 2. Ainsi nous recherchons des entiers n et m tels que

$n(n+1)/2=m^2,~$

c'est-à-dire tels que

$(2n+1)^2=8m^2+1\,$

et en posant k = 2n + 1, nous obtenons l'équation diophantienne

$k^2=8m^2+1\,$

qui est un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat.

Le k-ième carré triangulaire N_k est égal au s-ième nombre carré :

$s(N_k) = \sqrt{N_k}\,$

et le t-ième nombre triangulaire vérifie

$t(N_k) = \left[ \sqrt{2 N_k} \right]\,$

où [ ] représente la partie entière.

t est donné par

$t(N_k) = {1 \over 4} \left( \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right)$.

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport t / s tend vers la racine carrée de deux :

$\begin{matrix}N&s&t&t/s \\1&1&1&1 \\36&6&8&1,3\ldots \\1~225&35&49&1,4\ldots \\41~616&204&288&1,411\ldots \\1~413~721&1~189&1~681&1,413\ldots \\48~024~900&6~930&9~800&1,4141\ldots \\1~631~432~881&40~391&57~121&1,41420\ldots \\55~420~693~056&235~416&332~928&1,414211\ldots \\1~882~~672~131~025&1~372~105&1~940~449&1,4142132\ldots \end{matrix}$

A partir des équations précédentes, on peut, en outre, établir que les solutions vérifient la relation de récurrence:

$k \to +\infty \ ,\quad {{s(N_{k+1})} \over {s(N_k)}} = \sqrt{\displaystyle{{N_{k+1} \over {N_k}}}} \to (1+\sqrt 2)^2$

valeur par défaut ... que confirme rapidement (dès que k > 5) le tableau ci-dessus.

Lien externe

(en) There exist triangular numbers that are also square, sur cut-the-knot

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square triangular number » (voir la liste des auteurs)