Nombre d'Euler

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 Ne pas confondre avec e, la base du logarithme naturel, aussi appelée occasionnellement nombre d'Euler, ni avec les nombres eulériens en combinatoire.

Les nombres d'Euler sont une suite $E_n\,$ de nombres entiers positifs définis par le développement en série de Taylor suivant :

$\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin} E_n \frac{x^n}{n!}$

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres Zig-Zag.

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous égaux à zéro. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont positifs. Les premières valeurs sont :

Premiers nombres d'Euler

E₀ = 1

E₂ = 1

E₄ = 5

E₆ = 61

E₈ = 1385

E₁₀ = 50521

E₁₂ = 2702765

E₁₄ = 199360981

E₁₆ = 19391512145

E₁₈ = 2404879675441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

$\frac{1}{\cos x} = 1 + E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} + E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots$

et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

$\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} - E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots$.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations Zig-Zag de taille paire. Une configuration Zig-Zag de taille n est une liste de n nombres réels $z_1,\dots,z_n$ tels que

$z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots$.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.