Nombre de Harshad

Nombre Harshad

Un nombre Harshad, ou nombre de Niven, ou nombre multinumérique est un entier qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. Le nom de Harshad leur a été donné par le mathématicien Dattatreya Ramachandra Kaprekar et signifie en sanscrit grande joie. Le terme Niven est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977. Tous les nombres compris entre zéro et le nombre de la base sont des nombres Harshad.

Nombre Harshad en base 10

Les premiers petits nombres Harshad avec plus d'un chiffre en base 10 sont (suite A005349 dans l'encyclopédie électronique des suites entières) :

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204

Quels nombres peuvent être des nombres Harshad ?

En prenant le test de divisibilité pour le 9, on pourrait être tenté de généraliser que tous les nombres divisibles par 9 sont aussi des nombres Harshad. Mais pour le but de la détermination du caractère de Harshad pour n, les chiffres de n ne peuvent seulement être additionnés qu'une fois et n doit être divisible par cette somme, autrement, il n'est pas un nombre Harshad. Par exemple, 99, bien qu'il soit divisible par 9 comme le montre 9 + 9 = 18 et 1 + 8 = 9, n'est pas un nombre de Harshad, puisque 9 + 9 = 18 = 2 × 3² et 99 n'est pas divisible par 2.

Un nombre premier p est un nombre Harshad seulement s'il est inférieur à 10. En effet, dans le cas contraire, la somme de ses chiffres donne un nombre strictement plus grand que 1 et strictement plus petit que p donc un nombre qui ne peut pas diviser p.

En base 10, les factorielles des nombres entiers inférieurs à 431 sont des nombres Harshad. 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre Harshad. En voici quelques autres:

444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!, ...

Nombres Harshad consécutifs

H.G. Grundman démontra en 1994 qu'en base 10, il n'existe pas 21 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad. Il trouva aussi la plus petite suite de 20 entiers consécutifs qui sont tous des nombres Harshad ; ils dépassent 10^44363342786.

Estimation de la densité des nombres Harshad

Si nous prenons $N(x)\,$ pour désigner le nombre de nombres Harshad ≤ x, alors pour tout $\epsilon > 0\,$ donné,

$x^{1-\varepsilon} << N(x) << \frac{x\log\log x}{\log x}$

comme montré par Jean-Marie De Koninck et Nicolas Doyon ; de plus, De Koninck, Doyon et Kátai ont démontré que

$N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}$

où c = 14/27 log 10 ≈ 1,1939.

Nombre Harshad dans d'autres bases

Un nombre Harshad en base b est souvent appelé un nombre de b-Harshad (notation de Grundman 1994).

Répartition des nombres b-Harshad

Tous les entiers inférieurs ou égaux à b sont des nombres b-Harshad. Les seuls nombres premiers b-Harshad sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à b.

En base 2, il existe une infinité de suites de quatre nombres Harshad consécutifs, alors qu'en base 3, il existe une infinité de suites de six nombres Harshad consécutifs ; ces résultats ont été prouvés tous les deux par T. Cai en 1996.

Nombre Harshad complet

Un nombre qui est un nombre Harshad dans une base quelconque est appelé un nombre Harshad complet, ou un nombre de Niven complet ; il existe seulement quatre nombres Harshad complets, 1, 2, 4 et 6.

Questions ouvertes

• dans une base b, existe-t-il toujours un nombre Harshad a tel que tout nombre entier pair supérieur à a peut s'écrire comme somme de deux nombres Harshad strictement supérieurs à b ?

• Tout nombre entier supérieur à 2 peut-il s'écrire comme somme de deux nombres Harshad ?

Références

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

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