Nombre de Lucas

En mathématiques, la suite des nombres de Lucas est l'une des suites de Lucas. Elle est définie par :

$\mathcal{L}_{0}=2$.

$\mathcal{L}_{1}=1$.

$\mathcal{L}_{n+2}=\mathcal{L}_{n+1}+\mathcal{L}_n$.

La relation de récurrence est la même que celle de la suite de Fibonacci. Les valeurs initiales sont 2 et 1 au lieu de 0 et 1.

Premières valeurs

Rangés par ordre croissant, les premiers nombres de Lucas (pour n compris entre 0 et 10) sont les suivants :

$1=\mathcal{L}_{1}$

$2=\mathcal{L}_{0}$

$3=\mathcal{L}_{2}$

$4=\mathcal{L}_{3}$

$7=\mathcal{L}_{4}$

$11=\mathcal{L}_{5}$

$18=\mathcal{L}_{6}$

$29=\mathcal{L}_{7}$

$47=\mathcal{L}_{8}$

$76=\mathcal{L}_{9}$

$123=\mathcal{L}_{10}$

Propriétés

Les puissances successives du nombre d'or

$\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$

sont voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, en désignant par φ et φ' les racines de l'équation x² − x − 1 = 0 :

$L_n=\varphi^n+(1-\varphi)^n=\varphi^n+(- \varphi)^{-n} = \varphi^n+(\varphi')^{n} \, = \left({1+\sqrt5\over2}\right)^n+\left({ 1-\sqrt5\over2}\right)^n$

(C'est la formule de Maillet, dont l'analogue pour les nombres de Fibonacci est la formule de Binet.)

Ainsi la valeur absolue de la différence :

$L_n-\varphi^n=\frac{(-1)^n}{\varphi^n}$ est strictement inférieure à 1/2 pour n≥2 (ce qui montre que L_n est l'entier le plus proche de φⁿ) et tend même vers zéro.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Lucas Number », MathWorld
• (en) Suite des nombres de Lucas sur l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers