Nombre de Motzkin

Fixons n points distincts sur un cercle. Le n-ième nombre de Motzkin est le nombre de façons de choisir des cordes ne se coupant pas, parmi les n(n-1)/2 cordes reliant deux de ces n sommets.s. Les nombres de Motzkin ont de très nombreuses applications en géométrie, combinatoire et théorie des nombres. Les premiers nombres de Motzkin sont, d'après suite A001006 de l’OEIS :

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2 188, 5 798, 15 511, 41 835, 113 634, 310 572, 853 467, 2 356 779, 6 536 382, 18 199 284, 50 852 019, 142 547 559, 400 763 223, 1 129 760 415, 3 192 727 797, 9 043 402 501, 25 669 818 476, 73 007 772 802, 208 023 278 209, 593 742 784 829, ...

Un nombre premier de Motzkin est un nombre de Motzkin qui est premier. Les premiers nombres premiers de Motzkin sont, d'après suite A092832 de l’OEIS :

2, 127, 15 511, 953 467 954 114 363

Le n-ième nombre de Motzkin est aussi le nombre de suites d'entiers positifs de longueur n - 1 vérifiant les deux conditions suivantes: le premier et le dernier éléments valent 1 ou 2; la différence entre deux éléments consécutifs est -1, 0 ou 1.

Le n-ième nombre de Motzkin est également le nombre de chemins reliant le point (0,0) au point (n,0), constitué de pas Nord-Est (1,1) ou Sud-Est (1,-1) ou Est (1,0), le chemin devant se trouver entièrement dans le quadrant supérieur droit d'un repère.

Dans leur tour d'horizon des nombres de Motzkin en 1977, Donaghey et Shapiro présentent quatorze interventions différentes des nombres de Motzkin dans les mathématiques.