Nombre de Riesel

Un nombre de Riesel est, en mathématiques un entier naturel impair k pour lequel les entiers de la forme k×2ⁿ-1 sont tous composés.

Définition

Un entier naturel k est un nombre de Riesel si tous les éléments de l'ensemble suivant sont composés :

$\left\{\,k \times 2^n - 1 : n \in\N\,\right\}$

Propriétés

En 1956, Hans Riesel (en) a montré qu'il existait une infinité d'entiers de la sorte. Il a montré également que le nombre 509 203 possédait cette propriété, ainsi que toute somme de 509 203 et d'un multiple de 11 184 810.

On peut montrer qu'un nombre est de Riesel en déterminant son ensemble de couverture. Un ensemble de couverture est un ensemble de nombres premiers qui divisent tous les membres d'une suite. Les seuls nombres de Riesel connus en dessous d'un million ont les ensembles de couverture suivant :

• 509 203 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 762 701 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 777 149 : {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 790 841 : {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 992 077 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Problème de Riesel

Le problème de Riesel consiste en la détermination du plus petit nombre de Riesel. On conjecture que 509 203 est le plus petit nombre de Riesel. Cependant, à la date du 20 juillet 2011, 57 nombres inférieurs ont pour l'instant donné des nombres composés pour toutes les valeurs de n testées :

2 293, 9 221, 23 669, 31 859, 38 473, 40 597, 46 663, 67 117, 74 699, 81 041, 93 839, 97 139, 107 347, 121 889, 129 007, 143 047, 146 561, 161 669, 162 941, 192 971, 206 039, 206 231, 215 443, 226 153, 234 343, 245 561, 250 027, 252 191, 273 809, 304 207, 315 929, 319 511, 324 011, 325 123, 327 671, 336 839, 342 847, 344 759, 362 609, 363 343, 364 903, 365 159, 368 411, 371 893, 384 539, 386 801, 397 027, 398 023, 402 539, 409 753, 444 637, 470 173, 474 491, 477 583, 485 557, 494 743, 502 573.

Le Riesel Sieve project a déjà permis d'éliminer 31 k grâce à la découverte de nombre premiers de la forme k×2ⁿ-1 pour chacun d'eux. Il fait maintenant partie du projet PrimeGrid, qui étudie actuellement les nombres restants et a déjà permis de découvrir 7 nombres premiers^[1] et donc d'éliminer 7 k :

65 531, 123 547, 141 941, 191 249, 353 159, 415 267, 428 639.

k	Nombre premier (k×2n-1)	Nombre de chiffres en base 10	Date
65 531	65 531×23 629 342-1	1 092 546	5 avril 2011
123 547	123 547×23 804 809-1	1 145 367	8 mai 2011
141 941	141 941×24 299 438-1	1 294 265	26 mai 2011
191 249	191 249×23 417 696-1	1 028 835	21 novembre 2010
353 159	353 159×24 331 116-1	1 303 802	31 mai 2011
415 267	415 267×23 771 929-1	1 135 470	8 mai 2011
428 639	428 639×23 506 452-1	1 055 553	14 janvier 2011

Note

1. ↑ (en) Seventh Riesel prime discovery announcement sur PrimeGrid

Voir aussi

Article connexe

Nombre de Sierpinski

Lien externe

(en) About the Riesel Problem sur PrimeGrid