Normale a une surface

Normale à une surface

Un plan et deux vecteurs normaux.

En géométrie, la droite normale à une surface en un point est la droite orthogonale au plan tangent en ce point. Les vecteurs directeurs de cette droite sont appelés vecteurs normaux à la surface.

Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur.

Plus généralement, il est possible de considérer les vecteurs normaux à une hypersurface dans un espace euclidien, voire dans une variété riemannienne.

Exemple : le plan en dimension 3

Dans un espace euclidien de dimension trois, on peut l'obtenir simplement par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan. Soit un plan défini par le point $A(a_1;a_2;a_3)\,$ et les vecteurs $\vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix}$ et $\vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}$. Son système d'équations paramétriques est :

$\begin{cases} x = a_1 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = a_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = a_3 + \lambda u_3 + \mu v_3\end{cases}$

Soit $\vec w = \vec u \times \vec v$ le vecteur résultat du produit vectoriel. Le vecteur normal au plan est :

$\vec n = \frac{\vec w}{\|\vec w\|}$ ou $\vec n = -\frac{\vec w}{\|\vec w\|}$

Si le plan est défini par son équation cartésienne :

Ax + By + Cz + D = 0

Son vecteur normal est :

$\vec n = \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}$

et son vecteur normal unitaire est :

$\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}$

Vecteur normal en un point régulier

Soit une surface définie par un paramétrage

$M(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)$

avec des fonctions x,y,z de classe C¹. Le point de paramètre (u,v) est dit régulier lorsque les vecteurs dérivés partiels en ce point sont indépendants. On peut alors former leur produit vectoriel

$N(u,v)=\frac{\partial M}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial M}{\partial v}(u,v)$

qui constitue un vecteur normal à la surface (non nécessairement unitaire).

Lien avec le gradient

Si la surface est donnée par une équation cartésienne f(x,y,z)=0, avec une fonction f de classe C¹, un point de la surface est dit régulier si le gradient de f est non nul en ce point. C'est alors le vecteur gradient lui-même qui constitue un vecteur normal.

La démonstration formelle de ce résultat fait intervenir le théorème des fonctions implicites. Il est toutefois possible d'en donner une approche simplifiée à l'aide de la notion de "variations infinitésimales".

En effet, si on se place en un point M(x,y,z) de la surface, sur son voisinage, la fonction f garde toujours la même valeur : 0. Par conséquent, sa variation infinitésimale lors d'un déplacement sur la surface défini par le vecteur $\vec{dl} = (dx, dy, dz)$ est nulle : df = 0.

Or, par définition du gradient, on a $df = \vec{grad(f)}.\vec{dl}$. Puisque ce produit scalaire est nul, le gradient en M est bien perpendiculaire à la surface en ce point.

Champ de normales

Un champ de normales (normales en plusieurs points) à une forme permet de retrouver sa surface tridimensionnelle, en passant par une étape d'intégration de ce champ.

Voir aussi

Liens internes

• Vecteur

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