Notation de Leibniz

En analyse, la notation de Leibniz, nommée en l'honneur de Gottfried Wilhelm von Leibniz, consiste en l'usage des notations « d droit » (d) ou « delta » (Δ) suivies d'une quantité pour représenter un infinitésimal de la quantité en question. Par exemple, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. Par extension, c'est une notation couramment utilisée pour écrire les dérivées.

En physique, cette notation est presque unanimement interprétée comme une modification élémentaire (de position, de vitesse...) ou un échantillon élémentaire (de surface, de volume...).

Détails

Selon Leibniz, la dérivée de y par rapport à x, qui s'écrit en termes modernes comme la limite :

$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

est le quotient d'un incrément infinitésimal de y par un incrément infinitésimal de x. Ainsi, si on pose une fonction f dérivable, il est légitime d'écrire, en posant :

$y = f(x)\$

que la dérivée de f est :

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f' \left(x\right).$

De façon similaire, l’intégrale de la fonction $f\$ sur l’intervalle $\left[ a, b \right]\$, définie par :

$\lim_{\Delta_i{x} \rightarrow 0}{\sum_{n}{f(x_n).{\Delta_n x}}}$

avec ${\Delta_n x} = x_{n+1}-x_n \ge 0,\ \sum_{n}{\Delta_n x} = b-a,\ x_0 = a\$

ou encore par le théorème de Riemann :

$(b-a) \cdot \lim_{N \rightarrow \infin} \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N}{f\left(a + n \cdot \frac{b-a}{N}\right)}$

Leibniz la voyait comme la somme d'une quantité infinie de quantités infinitésimales. En utilisant la lettre S pour noter cette somme, cela donna la notation moderne de l'intégrale :

$\int f\left(x\right)\;\mathrm dx$.