Onde sur une corde vibrante


Onde sur une corde vibrante
Guitare

La corde vibrante est le modèle physique permettant de représenter les mouvements d'oscillation d'un fil tendu. On supposera ici qu'il est tenu par ses deux extrémités, ce qui n'est pas toujours le cas (dans les pendules ou les fils à plomb, par exemple, l'extrémité du bas est libre).

Étant tenue par ses deux extrémités, les vibrations se réfléchissent à chaque extrémité, il y a donc un phénomène d'onde stationnaire.

Ce modèle permet de comprendre les sons émis par les instruments à cordes, mais aussi les mouvements qui peuvent agiter les structures mécaniques comme les câbles, caténaires et élingues.

Ce modèle simple est également une bonne introduction à des phénomènes similaires mais plus complexes, comme les tuyaux sonores, les phénomènes de vibration des plaques…

Sommaire

Approche phénoménologique

Considérons une corde maintenue par ses deux extrémités. Dans le mode de vibration le plus simple, dit « fondamental », elle forme à chaque instant un arc, et la flèche de cet arc varie de manière périodique (la courbure augmente, puis diminue, puis s'inverse, puis augmente dans l'autre sens…). On peut donc définir une fréquence de vibration, et l'on remarque que cette fréquence dépend :

  • de la masse linéique de la corde (notée µ et exprimée en kilogramme par mètre, kg/m) ;
  • de la force avec laquelle on tend cette corde (tension notée T et exprimée en Newton, N) ;
  • de la longueur de la corde (notée L et exprimée en mètre, m).

Si l'on cherche l'influence de chaque paramètre :

  • plus la corde est légère (µ est faible), plus la fréquence est élevée (c'est la raison pour laquelle les cordes aiguës d'un instrument sont plus fines) ;
  • plus la corde est tendue, plus la fréquence de vibration est élevée (d'un point de vue acoustique, la note s'élève lorsqu'on tend la corde) ;
  • plus la corde est longue, plus la fréquence est basse (et donc pour un instrument plus le son est grave).

Sur un instrument, chaque corde a une masse linéique différente, et l'on ajuste la tension pour accorder. Pour jouer, on joue sur le choix de la corde, et lorsque l'instrument a un manche, sur la longueur de la corde en pinçant la corde contre le manche avec le doigt.

Variation de la fréquence avec la longueur

En ce qui concerne la longueur : la fréquence varie comme l'inverse de la longueur. Ainsi, si l'on divise la longueur par deux, on multiplie la fréquence par deux c'est-à-dire que l'on monte d'une octave. On remarque ainsi que la douzième frette d'une guitare se trouve au milieu de la corde (puisqu'une octave fait douze demi-tons dans la gamme tempérée).

Trois premiers modes de vibration d'une corde

Mais une corde peut vibrer d'autres manières : si les extrémités restent fixes, la forme qu'elle prend peut avoir deux, trois, … n arcs tête-bêche. On parle de « mode de vibration ». Si l'on est au mode n, on a donc n arcs, et chaque arc a pour longueur L / n. Il vibre donc avec une fréquence n fois plus élevée que la fondamentale. C'est ainsi qu'une corde peut émettre des sons de plusieurs hauteurs différentes.

Vibration fondamentale (haut), avec une harmonique (milieu) et avec deux harmoniques (bas)

En fait, la vibration réelle est une combinaison des différents modes ; on parle d'« harmoniques ». L'amplitude des différentes harmoniques est une caractéristique de l'instrument, et détermine sa sonorité (son « timbre »).

Ce n'est pas uniquement la vibration de la corde qui importe, mais celui de tout l'instrument, en particulier de la caisse de résonance.

Équation d'onde pour une corde tendue

Tout ce qui suit suppose que la corde sonore est sans raideur et de diamètre nul, ce qui n'est jamais rigoureusement vérifié. Pour la présentation des effets de raideur, voir : Inharmonicité du piano.

La corde initialement au repos occupe un segment le long de l'axe des x. Elle est tendue avec une tension T (Force) appliquée à ses 2 extrémités. On déforme la corde dans la direction y et on la lâche. Appelons y(x,t) le déplacement de la corde à l'abscisse x et à l'instant t.

Ecrivons l'équation de Newton (Lois de Newton) pour une portion de corde à l'aplomb du segment [x,x + dx]. Aux extrémités on a les forces \vec{F_1} et \vec{F_2} de module T s'exerçant tangentiellement.


\overrightarrow{F_1} = - T (\cos  \alpha \overrightarrow{e_x} + \sin \alpha \overrightarrow{e_y})

On suppose la déformation petite, de sorte que les angles sont petits :

\cos (\alpha) \simeq 1
\sin (\alpha) \simeq \tan (\alpha) \simeq {\partial y \over \partial x} (x,t)

\overrightarrow{F_1} = - T \left(\overrightarrow{e_x} + {\partial y \over \partial x} (x,t) \overrightarrow{e_y}\right)

De la même manière, à l'autre extrémité située en x + dx


\overrightarrow{F_2} = + T \left(\overrightarrow{e_x} + {\partial y \over \partial x} (x+\mathrm dx,t) \overrightarrow{e_y}\right)

D'où :


\overrightarrow{F_2}  + \overrightarrow{F_1} \simeq 
T \left( {\partial y \over \partial x} (x+\mathrm dx,t) - {\partial y \over \partial x} (x,t)\right) \overrightarrow{e_y}

Par le théorème de Taylor limité au 1er ordre (dx est supposé très petit) on obtient :

\overrightarrow{F_2}  + \overrightarrow{F_1} \simeq  T {\partial ^2 y \over \partial x^2   } (x,t) \mathrm d x \overrightarrow{e_y}

Par la seconde loi de Newton (F = ma), on aura en négligeant la force de la pesanteur :

\mathrm d m {\partial  \overrightarrow{v} \over \partial  t} =  T {\partial ^2 y \over \partial x^2   } (x,t) \mathrm dx \overrightarrow{e_y}

dm = μdx est la masse de l'élément de corde. En première approximation tous les éléments de la portion de corde ont la même vitesse transversale vt dans la direction y, à ne pas confondre avec la vitesse longitudinale v, définie ci-dessous et qui s'écrit :

 \overrightarrow{v_t} = {\partial y \over \partial t } (x,t) \overrightarrow{e_y}

On en déduit :

 \mu { \partial ^2 y \over \partial t^2} = T { \partial ^2 y \over \partial x^2}

ou encore :

   {\partial ^2 y \over \partial x^2}= {1  \over v^2 } { \partial ^2 y \over \partial t^2}

 v =  \sqrt {\tfrac T\mu}

Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles pour la fonction de deux variables y(x,t) appelée équation d'onde de d'Alembert à une dimension.

Signification de v comme vitesse de propagation d'une déformation.

Supposons que la corde est infinie. Dans ce cas, une solution possible de l'équation d'onde est : y(x,t) = f(xvt)f est une fonction arbitraire d'une variable qui est xvt.

Remarque : y(x,t) = f(x + vt) est aussi une solution acceptable, mais correspond à une onde se propageant dans le sens des x négatifs.

L'équation est en effet satisfaite pour tout f. En particulier, si on pose t = 0, on a

f(x) = y(x,0) : déformation initiale de la corde en t = 0

A l'instant t1, on retrouve la même forme mais déplacée en vt1.

La déformation s'est propagée de vt1 pendant le temps t1, avec une vitesse v, sans subir de déformation.

Si, à l'instant t = 0, on a affaire à une déformation de type cosinusoïdale :

 f(x) = A \cos \left(2 \pi {x \over \lambda}\right )

λ est la longueur d'onde, on trouve à chaque instant :

 y(x,t) = A \cos\left(2 \pi { x - vt \over \lambda }\right )

que l'on peut ré-écrire sous la forme:

 y(x,t) = A \cos (kx - \omega t) = \Re \left[A e^{(i k x - i \omega t)}\right]

 k = \tfrac{ 2 \pi}{\lambda} est le nombre d'onde et  \omega = \tfrac{2 \pi v }{\lambda} est la pulsation.

La fréquence est donnée :  \nu = \tfrac v\lambda et ω = kv.

Modes propres de vibration d'une corde

Recherchons une solution de l'équation d'onde qui soit harmonique dans le temps, en posant

 y(x,t) = u(x) \cos \omega t = \Re [u(x) e^{-i \omega t}]

On trouve ainsi comme équation :

 v^2 {\mathrm d^2 u \over \mathrm dx^2} = -\omega ^2 u(x)

d'où

{ \mathrm d^2u \over \mathrm dx^2 } + k^2 u(x) = 0

avec  k = \tfrac\omega v. La solution générale de l'équation ci-dessus est :

u(x) = Acos kx + Bsin kx

A et B sont deux constantes d'intégration. Si la corde est de longueur L et fixée à ses 2 extrémités (x = 0 et x = L), on doit imposer comme conditions aux limites u(0) = u(L) = 0. La première condition impose que A = 0 et la seconde donne Bsin kL = 0.

A part la solution triviale B = 0 (qui implique u = 0, ce qui n'a aucun intérêt), cette condition est aussi satisfaite si kL = π,2π,.... On trouve ainsi une famille de solutions :

 u_n(x) = B_n \sin \left(n \pi {x \over L}\right).

Pour lesquelles les pulsations sont  \omega = n \pi \tfrac vL.

Les fréquences correspondantes sont  \nu = n \tfrac v{2L}, c’est-à-dire multiple d'une fréquence fondamentale \tfrac v {2L} (inverse du temps d'un aller et retour le long de la corde). Pour la présentation des effets de raideur, qui augmentent les fréquences propres d'autant plus que le numéro du mode propre est plus élevé, voir : Inharmonicité du piano.

Il existe donc une infinité de modes propres de vibration, décrits par :

y(x,t) = B_n \sin \left( n \pi { x \over L}\right) \cos \left(n \pi {vt \over L }\right)

Les amplitudes Bn sont arbitraires.

La solution générale de l'équation d'onde peut s'écrire sous la forme d'un superposition de tous les modes propres :

 y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin \left(n \pi {x \over L}\right) \cos \left(n \pi {vt \over L}\right)

A l'instant t = 0, en particulier,

 y(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin \left(n \pi {x \over L}\right)

Si on se donne la forme initiale de la corde, c’est-à-dire si on suppose comme la fonction f(x) = y(x,0), les Bn représentent les coefficients d'une série de Fourier en sinus de f(x):

 B_n = {2 \over L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \left(n \pi {x \over L}\right) \mathrm dx.

Voir aussi

Articles connexes

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