Operateur bilaplacien

Opérateur bilaplacien

Articles d'analyse vectorielle
Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

L'opérateur bilaplacien, ou opérateur biharmonique est, comme son nom le suggère, le nom donné à l'opérateur laplacien appliqué deux fois.

Expression

Dans un système de coordonnées cartésiennes x¹,x²,...xⁿ, la bilaplacien s'écrit

$\Delta^2 = \nabla^4 = \sum_i \frac{\partial^4}{(\partial x^i)^4} + 2 \sum_{i < j} \frac{\partial^4}{(\partial x^i)^2(\partial x^j)^2}$.

D'autre part, dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

$\Delta^2 \left(\frac{1}{ r}\right)= \frac{3(15-8n+n^2)}{ r^5}$

avec r la distance euclidienne :

$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2} = \left(\sum_{k=0}^nx_k^2\right)^{\frac12}$.

Voir aussi

• Opérateur laplacien
• Équation biharmonique
• Fonction harmonique

Référence

• (en) Le bilaplacien sur le site MathWorld

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