Operateur pseudo-differentiel

Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre m s'écrit :

$\mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ D^{\alpha}$

où les a_α(x), appelées coefficients de l'opérateur $\mathfrak{D}$, sont des fonctions des n variables d'espace x^k,k = 1,...,n.

Introduction de la transformée de Fourier

Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables par :

$\hat{f}(\xi) \ = \ \int_\R \mathrm dx \ e^{- \, i \, \xi \, x} \ f(x)$

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \hat{f}(\xi)$

Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre m est la fonction σ(x,ξ) des 2n variables (x,ξ) polynomiale en ξ :

$\sigma (x, \xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}$

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ linéaire d'ordre m vérifie alors la relation :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $\mathfrak{D}$ à partir de son symbole σ(x,ξ). Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients a_α de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre m sont indépendants des n variables d'espace x^k, son symbole est seulement une fonction σ(ξ) des n variables ξ polynomiale en ξ :

$\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}$

de telle sorte que  :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse ^[1] :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction p(ξ) des n variables ξ. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel P_D à coefficients constants, dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

$(P_D \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(ξ) présente quelques « bonnes » propriétés :

• la fonction p(ξ) doit être lisse.
• la fonction p(ξ) doit avoir une croissance tempérée lorsque $| \xi | \to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que :

$\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}$

où les C_α sont des constantes, qui peuvent dépendre de α.

Calcul symbolique exact

Soient P₁ et P₂ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivements par les symboles p₁(ξ) et p₂(ξ). Alors, l'opérateur P = P₁P₂ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit p₁(ξ)p₂(ξ).

Opérateur pseudo-différentiel : cas général

Définition

Soit une fonction p(x,ξ) des 2n variables (x,ξ). On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel P_D, dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

$(P_D \,f)(x) \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (x, \xi) \ \hat{f}(\xi)$

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : P_D = p(x,D)

Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(x,ξ) présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

• la fonction p(x,ξ) doit avoir une croissance tempérée lorsque $| \xi | \to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que $\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}$ où les C_α sont des constantes, qui peuvent dépendre de α.
• la fonction p(x,ξ) doit avoir une variation lente dans les variables d'espace x. On demande explicitement que $\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m}$

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre m.

Classe des symboles d'ordre m

Soit $\Omega \subset \R^n$ un compact, et p(x,ξ) une fonction lisse de $\mathcal{C}^{\infty}(\Omega \times \R^n)$. Soit m un nombre réel quelconque. La classe $S^{m}(\Omega \times \R^n)$ des symboles d'ordre m est définie par :

$S^{m}(\Omega \times \R^n) \ = \ \left\{ \ p(x,\xi) \ \Big/ \ \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ \partial^{\beta}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha, \beta, \Omega} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|} \ \right\}$

pour tout $x \in \Omega$, $\xi \in \R^n$, et pour tous les multi-indices α,β. Les C_α,β,Ω sont des constantes, qui peuvent dépendre de α,β et Ω.

Remarque : lorsque la mention du compact Ω est indifférente, on note simplement : $S^{m} \ = \ S^{m}(\Omega \times \R^n)$

On note souvent Ψ^m l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans S^m

Propriété de pseudo-localité

Support singulier d'une distribution

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Calcul symbolique

Soient p_j,(j = 1,2) des éléments de $S^{m_j}(\R^n\times\R^n)$. Alors l'opérateur $p_1(x,D)\circ p_2(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à $S^{m_1+m_2}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est p₁(x,ξ)p₂(x,ξ)

Continuité dans les espaces de Sobolev

On note $H^s(\R^n)$ l'espace de Sobolev standard d'ordre s sur $\R^n$. Soient s et m deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre m sur $\R^n$ (i.e un élément de Ψ^m) est continu de $H^s(\R^n)$ dans $H^{s-m}(\R^n)$.

Propriété de pseudo-localité

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Bibliothèque virtuelle

• MS Joshi ; Lectures on Pseudo-differential Operators. Cours disponible sur l'ArXiv.

Bibliographie

• Serge Alinhac et Patrick Gérard ; Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, collection Savoirs actuels, EDP Sciences/CNRS éditions (1991), ISBN 2-86883-363-2. Issu d’un cours professé à l’Ecole Normale Supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.

• Jacques Chazarain & Alain Piriou ; Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars (1981), ISBN 2-04-012157-9.

• Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.

• Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.

• Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, University Series in Mathematics, Plenum Publ. Co. (1981), ISBN 0306404044.

• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press (1981), ISBN 0691082820.

• Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 116, Springer-Verlag (2^e édition - 1997), ISBN 0-387-94651-9. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2^e édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3.

• Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 117, Springer-Verlag (2^e édition - 1997), ISBN 0-387-94652-7.

• M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag (2001), ISBN 354041195X.

• Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2^e édition -1999), ISBN 3-540-65377-5. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2^e édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3.

Notes

1. ↑ Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.

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