Operations sur les derivees

Operations sur les derivees

Opérations sur les dérivées

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Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

Le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés découlent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note f et g deux fonctions qu'on suppose dérivables.

Sommaire

Linéarité

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

\bigl(\alpha f\bigr)'=\alpha f'
\bigl(f+g\bigr)' = f'+g'
\bigl(f-g\bigr)' = f'-g'

Composition

La composition de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par f du domaine de définition de g) et se calcule suivant la règle :

(g \circ f)' = f' \cdot (g' \circ f).

Cette règle admet pour conséquence la règle de calcul de l'inverse d'une fonction (on se place sur un intervalle sur lequel f ne s'annule pas), en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction x\mapsto \tfrac1x :

\left( \dfrac{1}{f} \right)' = -\dfrac{f'}{f^2}

Produit et quotient

Article détaillé : règle du produit.

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la formule de Leibniz est vérifiée :

\bigl(fg\bigr)' = f'g + fg'.

En particulier, cette relation admet comme conséquences la règle de dérivation des puissances :

\bigl(f^n\bigr)' = nf'f^{n-1},

et celle pour la dérivée d'un quotient :

\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'g-fg'}{g^2}

Fonction réciproque

Soit f une fonction dérivable et strictement monotone de l'intervalle I sur l'intervalle J = f(I). Si f' ne s'annule par sur I alors la fonction f − 1 est dérivable sur J et

 \left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}.
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