Opérateur adjoint

En mathématiques l'adjoint d'un opérateur, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire. Un tel espace est qualifié de préhilbertien.

Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension finie. L'application qui, à un opérateur associe son adjoint, est semilinéaire continue bijective. Cette fonction est même une isométrie involutive. L'espace des opérateurs se décompose en deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux. Ce sont des espaces propres de l'application associés aux valeurs propres 1 et -1.

Certains opérateurs disposent d'une compatibilité vis-à-vis du produit scalaire. Tel est le cas si un opérateur commute avec son adjoint. Il est alors dit normal. Trois cas sont importants, celui d'un opérateur opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal.

La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale. En théorie des opérateurs, une C*-algèbre est un espace de Banach muni d'une loi de composition interne analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui, à un opérateur associe son adjoint.

Définitions

L'adjoint d'un opérateur est une notion correspondant à des situations fort différentes. Elle peut être appliquée dans le cas d'un espace euclidien ou hermitien, c'est-à-dire en dimension finie. Elle est aussi utilisée dans le contexte le plus simple de l'analyse fonctionnelle, c'est-à-dire dans un espace de Hilbert ou un espace préhilbertien. Elle peut enfin s'appliquer dans un cadre très général sur des espaces de Banach. Pour cette raison deux définitions se côtoient.

Préhilbertien

Cette définition couvre dans la pratique deux cadres théoriques un peu différents. Celui de la dimension finie et celui où aucune hypothèse n'est faite sur la dimension. Il correspond aussi à un premier cas d'analyse fonctionnelle, le plus simple. En général l'espace vectoriel choisi est un espace de Hilbert, c'est-à-dire un espace préhilbertien complet. Comme il est relativement facile de compléter un espace préhilbertien et que les théorèmes dont on dispose sont beaucoup plus nombreux, ce cadre est largement utilisé. Une unique définition permet de couvrir ces deux cas :

Soit H un espace préhilbertien sur un corps $\mathbb K$ égal à celui des réels $\mathbb R$ ou des complexes $\mathbb C$. Le produit scalaire est noté (.,.) dans cet article. Soient a et a ^* deux opérateurs sur H.

Définition^[1] — L'opérateur a ^* est dit adjoint de a si :

$\forall x, y \in H \quad \langle a(x),y\rangle = \langle x,a^*(y)\rangle$

Il est d'usage de noter avec le signe * l'adjoint d'un opérateur. Le terme d'opérateur est en général celui utilisé pour désigner une application linéaire.

C*-algèbre

Article détaillé : C*-algèbre.

Comme la suite de l'article le montre l'application *, qui à un endomorphisme associe son adjoint est une application semilinéaire de l'espace des endomorphismes. Cet espace dispose, avec la composition des endomorphismes, d'une structure d'algèbre. Une application *, disposant des mêmes caractéristiques que l'application adjointe et définie sur une algèbre est le cadre d'une structure appelée C*-algèbre. L'image d'un élément a par l'application * est appelé adjoint de a^[2].

Banach

En analyse fonctionnelle, tous les espaces ne disposent pas d'un produit scalaire. L'approche par les adjoints reste néanmoins fructueuse. L'opérateur a dispose de propriétés plus pauvres que celles du paragraphe précédent.

Dans le cas général, il n'est plus borné, c'est-à-dire qu'il n'existe pas nécessairement de majorant de la norme de l'image d'un vecteur de la boule unité. Ainsi la dérivée d'une fonction de la variable réelle dans l'ensemble réelle à support compact, infiniment différentiable et majorée en valeur absolue par un n'est pas majorée par une constante indépendante de la fonction. Cet espace muni de la norme de la convergence uniforme est important pour la définition des distributions. La dérivée est un opérateur linéaire non borné qui joue un grand rôle en analyse fonctionnelle.

Un opérateur a n'est pas nécessairement défini sur tout le Banach. Ainsi la fonction dérivée n'est pas définie sur toute fonction de ]-1/2, 1/2[ dans R et intégrable en valeur absolue. Pour la même raison que celle du paragraphe précédent, il est néanmoins utile de considérer cet opérateur.

Dans ce paragraphe, E et F désigne deux Banach, a un opérateur non borné de E dans F, E^* et F^* désignent les duaux topologiques de E et F. Dans la suite de l'article le terme dual signifie dual topologique. Il est en effet plus utilisé que le dual algébrique dans ce contexte. Le terme D(a) désigne le domaine de a, c'est-à-dire le sous-espace vectoriel sur lequel a est défini. Il est supposé dense dans E. La notation <.,.>_E (resp. <.,.>_F) désigne le crochet de dualité, il correspond à l'application bilinéaire de E^*xE (resp. F^*xF) qui à un couple formé d'une forme linéaire et d'un vecteur de E (resp. F) associe un scalaire.

Définition — Le domaine noté D(a^*) de l'opérateur adjoint de a est le sous-ensemble de F^* suivant :

$\mathcal{D}(a^*) = \{y^* \in F^*,\; \exists c \ge 0,\; \forall x \in \mathcal{D}(a) \quad |\langle y^*,a(x)\rangle_{F} |\le c\|x\|\}$

Cette définition permet la suivante :

Définition^[3] — L'opérateur adjoint a^* de a est l'opérateur de D(a^*) dans E^* vérifiant l'égalité :

$\forall x \in \mathcal{D}(a),\; \forall y^* \in \mathcal{D}(a^*) \quad \langle y^*, a(x)\rangle_{F} =\langle a^*(y^*),x\rangle_{E}$

Il est fréquent que E et F soit confondu, l'adjoint est alors un opérateur de E^*.

Espace de Hilbert

On suppose dans toute cette section que H est un espace de Hilbert, c'est-à-dire un espace préhilbertien complet. Dans ce cas, le dual topologique s'identifie avec l'espace H. Les résultats obtenus dans le cas des formes bilinéaires s'appliquent sans beaucoup de modifications.

Le cas de la dimension finie est un peu plus simple car toute application linéaire est continue et l'isomorphisme entre l'espace et son dual est plus évident. Une approche plus didactique est disponible dans l'article Espace euclidien pour le cas réel et Espace hermitien pour le cas complexe.

Remarque : Dans le cas où le corps sous-jacent à H est celui des complexes, le produit scalaire est sesquilinéaire. La convention choisie dans l'article est que la forme est linéaire pour la première variable et antilinéaire pour la seconde. Le conjugué d'un scalaire λ est noté $\scriptstyle {\bar \lambda}$ dans cet article. Par défaut, les énoncés sont donnés pour les espaces complexes. Ils restent vrais pour les réels et l'application conjugué devient l'identité.

Existence (et unicité)

• Tout opérateur sur H admet un (unique) adjoint.

En effet, soit a un opérateur borné. Soit y un vecteur de H, l'application qui à un vecteur x associe <a(x)|y> est une forme linéaire continue. Le théorème de représentation de Riesz garantit alors l'existence d'un (unique) vecteur z tel que cette forme linéaire continue coïncide avec l'application qui à x associe <x|z>. L'application a^* qui à y associe z est alors l'adjoint de a.

• Réciproquement, si deux applications quelconques $a,a^*:H\to H$ vérifient

$\forall x, y \in H \quad \langle a(x),y\rangle = \langle x,a^*(y)\rangle$

alors $a, a^*\,$ sont toutes deux linéaires et continues.

Montrons-le par exemple pour a ^* . La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non dégénérescence du produit scalaire. On utilise que  :

$\forall x,y_1,y_2 \in H,\;\forall \lambda \in \mathbb K \quad (x|a^*(y_1+\lambda y_2))= (a(x)|y_1+\lambda y_2)=(a(x)|y_1)+\bar \lambda(a(x)|y_2)$

On en déduit :

$(x|a^*(y_1+\lambda y_2))=(x|a^*(y_1))+(x|\lambda a^*(y_2))\quad \text{donc}\quad (1)\; (x|a^*(y_1)+\lambda a^*(y_2)- a^*(y_1+\lambda y_2))=0\;$

L'égalité (1) est vraie pour toutes les valeurs de x ce qui montre que le terme de droite est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de a^*.

Pour montrer la continuité de a ^{* [4]} il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si x_n tend vers x et si a*(x_n) tend vers y alors a*(x)=y. Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation d'adjonction) que pour tout z, <z,a*(x_n)> tend à la fois vers <z,a*(x)> et vers <z,y>, donc que a*(x)-y est nul (car orthogonal à tout z).

Propriétés élémentaires

A beaucoup d'égards l'adjoint est une image miroir de l'opérateur.

• L'adjoint de l'opérateur a est linéaire.

Ce résultat (qui ne fait pas intervenir la linéarité de a) a été démontré plus haut.

En dimension finie, la matrice de l'adjoint est égale à la transposée de la matrice conjuguée de a. La démonstration est une fois encore simple, soit A la matrice de a dans une base de H et X (resp. Y) la matrice d'un vecteur x (resp. y) de H.

$\varphi (a(x)|y)= {}^t\!(A\cdot X)\cdot \bar Y= ^t\!X\cdot (^tA\cdot\bar Y) = ^t\!X\cdot\overline {(^t \bar A\cdot Y)}= (x|a^*(y))$

• Si l'opérateur a est borné, alors l'adjoint l'est aussi et la norme de a au sens des opérateurs est celle de l'adjoint.

Le terme borné signifie ici que l'image de la boule unité est bornée. Un opérateur est borné si et seulement s'il est continu.

La continuité de l'adjoint a été démontrée plus haut sans supposer que a était borné, à l'aide du puissant théorème du graphe fermé. Sous l'hypothèse que a est borné, la preuve est plus élémentaire : il suffit de remarquer que la norme de a ainsi que celle de l'adjoint est celle de la forme bilinéaire ou sesquilinéaire qui à x et y associe (a(x) | y) = (x | a^*(y)).

• La norme de la composée de a et de son adjoint est égal au carré de celle de a :

$\|a\circ a^*\|=\|a\|^2=\|a^*\|^2$

Orthogonalité

Les propriétés d'orthogonalités associées aux formes bilinéaires sont présentes dans ce contexte :

• Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a^* et le noyau de a^* est égal à l'orthogonal de l'image de a.

$\text{Ker}\,a = (\text{Im}\,a^*)^{\bot}\quad \text{et}\quad \text{Ker}\,a^* = (\text{Im}\,a)^{\bot}$

La démonstration est immédiate, elle provient de la chaîne d'équivalences suivante :

$\forall x \in H,\;x \in \text{Ker}\,a^{*} \Leftrightarrow \forall y \in H\quad (a^*(x)|y)=0 \Leftrightarrow \forall y \in H\quad (x|a(y))=0\Leftrightarrow x \in (\text{Im}\, a)^{\bot}$

Un corollaire immédiat est qu'en dimension finie a et a^* ont même rang car l'orthogonal d'un espace vectoriel fermé est un supplémentaire. En cas de dimension infinie, si a est injective, alors a^* possède une image dense dans H, ce qui ne signifie pas que a^* est surjective.

Une démonstration analogue permet d'établir le résultat suivant :

• L'orthogonal du noyau de a est égal à l'adhérence de l'image de l'adjoint de a. De même, l'adhérence de l'image de a est l'orthogonal du noyau de l'adjoint.

$(\text{Ker}\,a)^{\bot} = \overline{\text{Im}\,a^*}\quad \text{et}\quad (\text{Ker}\,a^*)^{\bot} = \overline{\text{Im}\,a}$

L'adhérence d'un ensemble E est le plus petit fermé qui le contient, il est ici noté $\scriptstyle {\overline E}$. En dimension finie, tout sous-espace est fermé et l'orthogonal du noyau de a est égal à l'image de l'adjoint de a.

• Soit E un sous-espace stable par a, l'orthogonal de E est stable par a^*.

La démonstration est de même nature que la précédente. Soit y un élément de l'orthogonal de E, son image par a^* est orthogonal à E.

$\forall x\in E\quad (x|a^*(y))=(a(x)|y)=0$

En dimension infinie, si E n'est pas fermé, la réciproque est fausse (par exemple si E est un hyperplan non fermé, son orthogonal est toujours stable par a^* - puisqu'il est réduit au vecteur nul - alors que E n'est pas stable par a en général).

Application adjointe

Il est possible de considérer l'application * de L(H) dans lui-même, qui à l'opérateur a associe l'adjoint a^*. Cette fonction est dénommée l'application adjointe.^{[réf. nécessaire]}

L'espace de départ L(H) dispose non seulement d'une structure d'espace vectoriel mais aussi d'algèbre associative avec pour multiplication interne la loi de composition. Il est possible de considérer une autre multiplication interne $\scriptstyle \star$ définie par :

$\forall a,b \in \mathcal L(H) \quad a\star b = b\circ a$

L'espace L(H)^op désigne l'algèbre L(H) munie de la multiplication $\scriptstyle \star$:

• L'application adjointe est un isomorphisme isométrique antilinéaire d'algèbre de L(H) dans L(H)^op.

Dire que l'application adjointe est un isomorphisme d'algèbre revient à dire, qu'en plus de la conservation de la linéarité, la propriété suivante est vérifiée :

$\forall a,b \in \mathcal L(H) \quad (a\circ b)^* = b^*\circ a^*$

• L'application adjointe est involutive.

Cette propriété signifie que :

$\forall a \in \mathcal L(H) \quad a^{**} = a$

En dimension finie, une involution est une symétrie, c'est-à-dire un endomorphisme diagonalisable de valeurs propres 1 et -1, d'espaces propres associés deux espaces supplémentaires. Cette propriété est générale sur tous les Hilbert.

• L'espace L(H) admet deux sous-espaces supplémentaires espaces propres pour l'application adjointe de valeurs propres 1 et -1. Un vecteur propre de valeur propre associée 1 (resp. -1) est appelé autoadjoint (resp. antisymétrique).

• En dimension finie l'espace propre de valeur propre associée 1 (resp. -1) est de dimension n(n + 1)/2 (resp. n(n - 1)/2) si n désigne la dimension de H.

En dimension finie et si le corps K est celui des complexes, les endomorphismes autoadjoints et antisymétriques sont diagonalisables, c'est-à-dire qu'il existe une base de E de vecteurs propres. Cette propriété est vraie pour tous les endomorphismes normaux, c'est-à-dire ceux qui commutent avec leur adjoint. Les automorphismes orthogonaux sont normaux et donc diagonalisable.

Si le corps K est celui des réels, les endomorphismes autoadjoints sont toujours diagonalisables.

Démonstrations

• L'application adjointe est un isomorphisme isométrique antilinéaire d'algèbre de L(H) dans L(H)^op :

L'antilinéarité découle directement du caractère sesquilinéaire du produit scalaire :

$\forall a,b \in \mathcal L(H),\;\forall \lambda \in \mathbb K,\; \forall x,y\in H\quad ((a+\lambda.b)(x)|y)=(a(x)|y) + \lambda(b(x)|y)=(x|(a^* +\bar \lambda b^*)(y))$

La conservation de la multiplication interne se démontre de manière analogue :

$\forall a,b \in \mathcal L(H)\; \forall x,y\in H\quad(a\circ b(x)|y)=(b(x)|a^*(y))=(x|b^*\circ a^*(y))$

• L'application adjointe est involutive :

Cette propriété est la conséquence du caractère hermitien du produit scalaire :

$\forall a \in \mathcal L(H),\; \forall x,y\in H\quad (a(x)|y)=(x|a^*(y))= \overline {(a^*(y)|x)} = \overline {(y|a^{**} (x))}=(a^{**}(x)|y)$

• L'espace L(H) admet deux sous-espaces supplémentaires espaces propres pour l'application adjointe de valeurs propres 1 et -1 :

Considérons l'application pde L(H) dans lui-même qui à un opérateur a associe 1/2(a + a^*). Cette application est une projection sur l'espace des opérateurs autoadjoints parallèlement à l'espace des antisymétriques. Les propriétés des projecteurs permettent de conclure.

• En dimension finie l'espace propre de valeur propre associée 1 (resp. -1) est de dimension n(n + 1)/2 (resp. n(n - 1)/2) si n désigne la dimension de H :

Considérons l'application de L(H) dans l'ensemble L₂(H) l'espace des formes sesquilinéaires. Cette application est un isomorphisme qui envoie l'espace des autoadjoints (resp. antisymétriques) sur les formes symétriques (resp. alternées). Comme les formes symétriques (resp. alternées) forment un espace vectoriel de dimension n(n + 1)/2 (resp. n(n - 1)/2) la proposition est démontrée.

Remarque : Plus de détails sont donnés dans l'article Forme bilinéaire.

Spectre

Le spectre d'un opérateur a est l'ensemble des scalaires λ tel que l'application a - λ.Id ne soit pas bijective (Id désignant l'application identité). En dimension finie le spectre est l'ensemble des valeurs propres. En dimension infinie il peut être plus large (voir les articles Spectre d'un opérateur linéaire et Valeur spectrale).

• Le spectre de l'opérateur a^* est le conjugué de celui de a.

Les propriétés du spectre se précisent si H est de dimension finie :

• Si H est de dimension finie, le déterminant (resp. le polynôme caractéristique) de a^* est le conjugué de celui de a.

• Si H est de dimension finie, le polynôme minimal de a^* est le conjugué de celui de a.

En conséquence, si λ est valeur propre de multiplicité m de l'opérateur a (c'est-à-dire racine d'ordre m de son polynôme caractéristique) alors le conjugué de λ est valeur propre de multiplicité m de l'opérateur a^*, et de même, si λ est racine d'ordre m du polynôme minimal de a (ce qui équivaut à dire que m est le plus petit entier tel que le noyau de (a -λId)^m soit égal au noyau de (a -λId)^m+1), alors le conjugué de λ est racine d'ordre m du polynôme minimal de a^*.

Démonstrations

• Le spectre de l'opérateur a^* est le conjugué de celui de a :

Un opérateur est bijectif si et seulement si son adjoint l'est (d'après la propriété $(a\circ b)^* = b^*\circ a^*$). En appliquant ceci à a - λId, le résultat s'en déduit.

• Si H est de dimension finie, le déterminant (resp. le polynôme caractéristique) de a^* est le conjugué de celui de a :

L'article Déterminant (mathématiques) démontre qu'une matrice carrée possède le même déterminant que sa transposée. De plus, le déterminant d'une matrice conjuguée est le conjugué du déterminant. Le fait que le déterminant d'un endomorphisme soit égal à celui de sa matrice montre que le déterminant de l'adjoint de a est le conjugué de celui de a. Les mêmes propriétés appliquées à l'endomorphisme a - λId montrent l'égalité des polynômes caractéristiques.

• Si H est de dimension finie, le polynôme minimal de a^* est le conjugué de celui de a :

Soit P(X) le polynôme minimal de a. L'endomorphisme P(a) est nul et son conjugué l'est aussi, ce qui montre que le polynôme conjugué de P(X) annule l'adjoint, son conjugué est donc un multiple du polynôme de a^*. On montre de même que le polynôme conjugué du polynôme minimal de l'adjoint annule a. Les deux polynômes sont multiples l'un de l'autre, ils sont tous deux unitaires, ce qui permet de conclure à l'égalité.

Espace de Banach

Comparer avec l'article anglais en:Unbounded operator

De nombreuses propriétés, valables pour les Hilbert peuvent être généralisées. L'analyse de l'adjoint d'un opérateur dans le cadre plus général des Banach possède des analogies certaines avec le cas précédent. Les techniques utilisées sont néanmoins un peu différentes. Dans ce paragraphe E et F désignent des Banach et a un opérateur non borné de E dans F.

Le terme opérateur non borné désigne une application linéaire sans précision sur le caractère continu de l'opérateur. Le mathématicien Haïm Brezis précise : Il peut donc arriver qu'un opérateur non borné soit borné. La terminologie n'est pas très heureuse, mais elle est communément répandue et elle n'engendre pas de confusion !^[5]

Existence et unicité

Comme précédemment, tout opérateur a admet un unique adjoint. Plus précisément :

• Pour tout opérateur non borné a de D(a) dans F il existe un unique adjoint, et l'adjoint est linéaire.

La question se pose alors de savoir si D(a^*) est dense dans le dual de F.

• Si a est un opérateur fermé, alors pour la topologie faible du dual de F, D(a^*) est dense dans le dual de F. Si de plus F est reflexif alors D(a^*) est dense pour la topologie usuelle.

Démonstration

• Pour tout opérateur non borné a de D(a) dans F il existe un unique adjoint, et l'adjoint est linéaire.

Remarquons dans un premier temps que D(a^*) est un espace vectoriel. Soit y₁^* (resp. y₂^*) un vecteur de D(a^*), λ un élément de K et c₁ (resp. c₂) une constante vérifiant la propriété suivante :

$\forall x \in \mathcal D(a) \quad |\langle y_1^*,a(x)\rangle|\le c_1\|x\| \quad \text{et}\quad |\langle y_2^*,a(x)\rangle|\le c_2\|x\|$

La majoration suivante montre que y₁^* + λy₂^* est bien élément de D(a^*).

$\forall x\in \mathcal D(a) \quad |\langle y_1^*+\lambda .y_2^*,a(x)\rangle|\le |\langle y_1^*,a(x)\rangle| + \lambda.|\langle y_2^*,a(x)\rangle|\le (c_1 +|\lambda |.c_2).\|x\|$

Soit y^* un élément de D(a^*). Par défaut, a^*(y^*) est une forme linéaire continue sur D(a). L'ensemble d'arrivé K est complet la forme est continue donc uniformément continue et se prolonge par continuité de manière unique (cf l'article Continuité uniforme). Ainsi, l'application a^*(y^*) est bien un élément de E^*.

La linéarité de a^* provient directement de la bilinéarité de <.,.>.

Continuité de l'adjoint

Le théorème du graphe fermé indique qu'un opérateur a est continu si et seulement si son graphe est fermé. Le graphe de a est le sous-espace vectoriel de ExF formé des points (x, a(x)) quand x parcourt D(a). Un opérateur ayant un graphe fermé est dit fermé, ce qui revient à dire borné ou continue. Pour une raison de style, il est plus fréquent de parler d'un opérateur non borné fermé que d'un opérateur non fermé borné, même si les significations sont identiques.

• Un opérateur non borné a à domaine dense possède un adjoint fermé.

Démonstration

Soient (v_n^*) une suite de D(a^*) convergente vers v^* dans le dual de F et tel que la suite (a^*(v_n^*)) converge aussi, mais cette fois-ci vers u^* dans le dual de E. L'objectif est de montrer que (v^*, u^*) est un élément du graphe de l'adjoint de a. L'égalité suivante est vérifiée :

$\forall x \in E,\;\forall n \in \mathbb N \quad \langle v_n^*, a(x)\rangle =\langle a^*(v_n^*), x\rangle$

Un passage à la limite montre que :

$\forall x \in E \quad \langle v^*, a(x)\rangle =\langle u^*, x\rangle \le \|u^*\|.\|x\|$

La dernière majoration montre que v^* est un élément de D(a^*) et la dernière égalité montre que u^* est l'image de v^* par a^*. En conséquence le point (v^*, u^*) est un élément du graphe de a^*, ce qui démontre la proposition.

Orthogonalité

Si a est fermé et possède un domaine dense, alors les propriétés d'orthogonalités correspondant à la situation hilbertienne restent vraies :

• Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a^* et le noyau de a^* est égal à l'orthogonal de l'image de a.

$\text{Ker}\,a = (\text{Im}\,a^*)^{\bot}\quad \text{et}\quad \text{Ker}\,a^* = (\text{Im}\,a)^{\bot}$

La situation diffère légèrement pour l'orthogonal des noyaux.

• L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image de l'adjoint de a et l'orthogonal du noyau de l'adjoint de a est l'adhérence de l'image de a.

$(\text{Ker}\,a)^{\bot} \supset \overline{\text{Im}\,a^*}\quad \text{et}\quad (\text{Ker}\,a^*)^{\bot} = \overline{\text{Im}\,a}$

Si l'espace E est réflexif, alors l'orthogonal du noyau de a est égal à l'adhérence de l'image de a^*, dans le cas contraire, l'égalité n'est pas assurée.

Avec les hypothèse de fermeture et de densité du domaine de a :

• Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :

(1) L'image de a est fermée.

(2) L'image de l'adjoint de a est fermée.

(3) L'image de a est l'orthogonal du noyau de l'adjoint.

(4) L'image de l'adjoint est l'orthogonal du noyau de a.

Démonstrations

• Le noyau de a est égal à l'orthogonal de l'image de a^* et le noyau de a^* est égal à l'orthogonal de l'image de a :

On remarque que, comme a est continue, le domaine de a^* est le dual de F entier, donc :

$x\in \text{Ker}\,a \Leftrightarrow \forall y^* \in F^* \; \langle y^* ,a(x)\rangle = 0 \Leftrightarrow \forall y^* \in \mathcal D(a^*) \; \langle a^*(y^*),x\rangle = 0$

Ce qui démontre la première égalité.

On remarque que, comme D(a) est dense dans E, un vecteur du dual de E est nul si et seulement s'il est orthogonal à D(a), donc :

$y^*\in \text{Ker}\,a^* \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal D(a) \; \langle a^*(y^*) ,x\rangle = 0 \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal D(a) \; \langle y^*,a(x)\rangle = 0$

Ce qui démontre la deuxième égalité.

• L'orthogonal du noyau de a contient l'adhérence de l'image de l'adjoint de a et l'orthogonal du noyau de l'adjoint de a est l'adhérence de l'image de a :

L'étude des formes bilinéaires continues montre que l'orthogonal d'un d'orthogonal d'un espace vectoriel contient l'adhérence de l'espace initiale. L'orthogonal de l'orthogonal de l'image de d'adjoint de a contient donc l'adhérence de l'image de l'adjoint de a. La proposition précédente permet de conclure pour l'inclusion suivante :

$(\text{Ker}\,a)^{\bot} \supset \overline{\text{Im}\,a^*}$

Notes et références

Notes

1. ↑ Cf par exemple S. Lang, Analyse Réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 157
2. ↑ Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964 , rééd. J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-013-2)
3. ↑ Cf par exemple (Brezis) p. 27
4. ↑ C'est l'une des versions du théorème de Hellinger-Toeplitz (en) : R. E. Edwards, The Hellinger-Toeplitz theorem, J. London Math. Soc., 1957, s1-32(4):499-501.
5. ↑ (Brezis) p. 27

Références

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : Cours et exercices, Dunod, 3^e éd. 1998 (ISBN 978-210004004-9)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, 1999  [détail des éditions]
• (en) Joram Lindenstrauss (en) et Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I, Springer, 1996 (ISBN 978-354060628-4)
• (en) Gert Pedersen, C^*-algebras and their automorphism groups, Academic Press, London, New-York, 1979 (ISBN 978-012549450-2)

Liens externes

• L'adjoint d'un endomorphisme et ses propriétés par les A. Morame de l'Université de Nantes 2006. Ce cours traite du cas réel en dimension finie.
• Adjoint d'un endomorphisme d'un espace hermitien sur le site les-mathematiques.net, par C. Antonini & al. Ce cours traite du cas complexe essentiellement en dimension finie.
• Adjoint d'un endomorphisme Site de la société Cabrilog soutenu par le CNRS et l'Université Joseph Fourier de Grenoble. Il traite du cas euclidien de dimension deux.
• Analyse fonctionnelle et théorie spectrale B. Maurey Université de PARIS VII. Il correspond à un cours de maîtrise et traite du cas général sur les Banach.
• Adjoint d’un operateur par J.Ch. Gilbert de l'Inria. Ce texte ne traite que le cas des Banach.