Opérateur normal

Endomorphisme normal

Définition

Soit $E \,$ un espace préhilbertien, réel ou complexe. Soit $u\,$ un endomorphisme de $E \,$ admettant un adjoint $u^* \,$. On dit que $u \,$ est normal si $\ u\circ u^*=u^*\circ u\,$.

Exemples

• les endomorphismes autoadjoints sont normaux.
• les endomorphismes antiautoadjoints sont normaux.
• Les isométries vectorielles sont des endomorphismes normaux.

Propriétés

• Lorsque E est un espace hermitien, un endomorphisme de E est normal si et seulement s'il est diagonalisable dans une base orthonormée.

• Attention, dans un espace euclidien, un endomorphisme normal n'est pas toujours diagonalisable dans une base orthonormée. Par contre un endomorphisme autoadjoint est toujours diagonalisable dans une base orthonormée.

• Soient E un espace hermitien (resp. un espace euclidien) et u un endomorphisme normal de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E qui soit u-stable. Alors F et $\scriptstyle F^{\perp}$ sont à la fois u-stables et u ^* -stables.

• Si E est un $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ espace vectoriel muni d'une norme $\ \Vert . \Vert \$ alors $\ \Vert u(\vec{v})\Vert = \Vert u^*(\vec{v})\Vert \ \forall \vec{v} \in E$.

• Si E est de dimension finie, $Sp(u^*)=\{\bar{\lambda} : \lambda\in Sp(u) \} \$, où $\ Sp \$ est le spectre de l'application.

• Si $\ \vec{v} \$ est un vecteur propre de u associé à une valeur propre λ, alors il est un vecteur propre de u ^* pour la valeur propre $\bar{\lambda}$.

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