Opérations sur les dérivées

Le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés découlent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note f et g deux fonctions qu'on suppose dérivables.

Linéarité

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

$\bigl(\alpha f\bigr)'=\alpha f'$ $\bigl(f+g\bigr)' = f'+g'$.

On en déduit en particulier :

$\bigl(f-g\bigr)' = f'-g'$.

Composition

La composée de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par f du domaine de définition de g) et se calcule suivant la règle :

$(g \circ f)' = (g' \circ f)\cdot f'$.

Un exemple d'application est la règle de dérivation des puissances :

$\left( f^\alpha\right)' = \alpha f^{\alpha-1}f',$

en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction $x\mapsto x^\alpha$ (cette règle est donc valide sans restriction si α est un entier positif, mais si α est un entier négatif on se place sur un intervalle où f ne s'annule pas, et si α est un réel non entier, sur un intervalle où f est à valeurs strictement positives).

Un autre exemple d'application est la règle de dérivation des exponentielles :

$\left(e^f\right)'=e^f.f'$.

Appliquée à $f(x)=x\ln(a)\,$ (où a est un réel fixé, strictement positif), cette règle donne : $(a^x)'=a^x\ln(a)\,$.

Plus généralement, appliquée à $f(x)=u(x)\ln(a)\,$, (où a>0, et u est une application dérivable) : $(a^{u(x)})'=a^{u(x)}u'(x)\ln(a)\,$.

Produit, inverse et quotient

Article détaillé : règle du produit.

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la formule de Leibniz est vérifiée :

$\bigl(fg\bigr)' = f'g + fg'$.

Démonstration

On montre la relation en un point x₀ appartenant aux domaines de dérivabilité de f et de g. Le taux de variation de fg s'écrit en ce point :

$T_{fg}(x,x_0) = \dfrac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}$.

À titre d'artifice de calcul, introduisons le terme neutre − f(x)g(x₀) + g(x₀)f(x) :

$T_{fg}(x,x_0) = \dfrac{f(x)g(x) \overbrace{- f(x)g(x_0) + g(x_0)f(x)}^0 - f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}$.

En factorisant les termes, on reconnaît les taux de variation de f et g :

$T_{fg}(x,x_0) = f(x) \underbrace{\dfrac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0}}_{T_g(x, x_0)} + g(x_0) \underbrace{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}_{T_f(x, x_0)}$.

En passant à la limite, et sachant que la dérivabilité implique la continuité, les trois relations suivantes sont vraies :

$\begin{align} \lim_{x\to x_0} T_{f}(x,x_0) &= f'(x_0) & \lim_{x\to x_0} f(x) &= f(x_0) \\ \lim_{x\to x_0} T_{g}(x,x_0) &= g'(x_0) \end{align}$.

Enfin, sachant que la limite d'un produit est égale au produit des limites :

$\bigl(f(x_0)g(x_0)\bigr)' = \lim_{x\to x_0} T_{fg}(x,x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$.

Cette relation valable en tout tel point x₀ montre la relation attendue entre les fonctions.

Cette relation permet par exemple de retrouver (par récurrence) la règle de dérivation des puissances (vue plus haut), dans le cas particulier α = n entier positif :

$\bigl(f^n\bigr)' = nf^{n-1}f'$.

Un autre cas particulier de cette même règle (pour α = − 1, donc sur un intervalle où g ne s'annule pas) est la règle de dérivation de l'inverse :

$\left( \dfrac{1}{g} \right)' = \dfrac{-g'}{g^2}$.

Cette dernière, combinée à la règle de dérivation du produit, donne la dérivée d'un quotient :

$\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'g-fg'}{g^2}$.

Fonction réciproque

Soit f une fonction dérivable et strictement monotone de l'intervalle I sur l'intervalle J = f(I). Si f' ne s'annule par sur I alors la fonction f ^{− 1} est dérivable sur J et

$\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$.

Démonstration

On souhaite prouver que f ^{− 1} est dérivable en $b = f(a)\in J$. En supposant $f'(a) \ne 0$, montrons que $\lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y - b}} = {1 \over {f'(a)}}$.

La fonction f étant dérivable en a, on a

$f'(a) = \lim_{x \to a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$.

Comme f ^{− 1} est continue en b, le théorème de composition des limites donne

$f'(a) = \lim_{y \to b}{\frac{f(f^{-1}(y)) - f(a)}{f^{-1}(y) - a}} = \lim_{y \to b}{\frac{y-b}{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}}$.

Cette limite étant non nulle, d'après le théorème sur l'inverse d'une limite, on a

$\lim_{y \to b}{\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b}} ={ 1 \over f'(a)}$ ou encore $\left(f^{-1}\right)'(b) =\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}$

ce qui conclut.

Remarquons que le point crucial dans cette démonstration était la preuve que f ^{− 1} est dérivable en b. Si l'on admet ce fait, la formule $\left(f^{-1}\right)'(b) =\frac{1}{f'(a)}$ peut se retrouver en posant g = f ^{− 1} et en appliquant la règle de composition : $g'(b)f'(a)=g'(f(a))f'(a)=(g\circ f)'(a)=id'(a)=1$.