Ordre (theorie des groupes)

Ordre (théorie des groupes)

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En théorie des groupes, une branche des mathématiques, le terme ordre est utilisé dans deux sens intimement liés :

• L'ordre d'un groupe est son cardinal, i.e. le nombre de ses éléments;
• L'ordre, quelquefois période, d'un élément a d'un groupe est le plus petit nombre entier positif m tel que $a^m = e\,$ (où e désigne l'élément neutre ou identité du groupe, et $a^m\,$ désigne le produit de m copies de a). Si aucun m de la sorte n'existe, nous disons que a est d'ordre infini.

Nous notons l'ordre d'un groupe G par ord(G) ou |G| et l'ordre d'un élément a par ord(a) ou |a|.

Exemple

Le groupe symétrique S₃, constitué de toutes les permutations de trois articles, possède la table de multiplication suivante :

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Ce groupe possède six éléments, alors

$ord(S_3) = 6\,$.

Par définition, l'ordre de l'élément neutre, e, est 1. Chaque carré de s, t, et w est égal à e, donc ces éléments du groupe sont d'ordre 2. En complétant l'énumeration, u et v sont tous deux d'ordre 3, pour

$u^3 = v\,$, $u^2 = vu = e\,$ et

$v^3 = u\,$, $v^2 = uv = e\,$.

Structure de groupe

L'ordre d'un groupe et d'un élément exprime aussi la structure du groupe. En parlant grossièrement, plus la décomposition de l'ordre est compliquée, plus l'ordre du groupe l'est.

Si l'ordre d'un groupe G est 1, alors le groupe est appelé un groupe trivial. Etant donné un élément a, ord(a) = 1 si et seulement si a est l'élément neutre. Si chaque élément (différent de l'élément neutre) dans G est le même que son inverse (c’est-à-dire a² = e), alors ord(a) = 2 et en conséquence G est abélien puisque

$ab = (bb) ab (aa) = b (ba)(ba) a = ba\,$.

La réciproque de cet énoncé n'est pas vraie; par exemple, le groupe cyclique (additif) $\mathbb{Z}_6\,$ des entiers modulo 6 est abélien, mais le nombre 2 est d'ordre 3 $(2+2+2 = 6 \equiv 0 (mod 6))\,$.

Le lien entre les deux concepts

Le lien entre les deux concepts d'ordre est le suivant : si nous écrivons

$\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \}$

pour le sous-groupe engendré par a, alors

$\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle)$.

Pour tout entier k, nous avons

$a^k = e\,$ si et seulement si ord(a) divise k.

En général, l'ordre d'un sous-groupe quelconque de G divise l'ordre de G. Plus précisément : si H est un sous-groupe de G, alors

$ord(G)/ord(H) = [G : H]\,$,

où [G: H] est l'index d'un sous-groupe de H dans G, un entier. Ceci est le théorème de Lagrange.

Comme conséquence immédiate de ceci, nous voyons que l'ordre de chaque élément d'un groupe divise l'ordre du groupe. Par exemple, dans le groupe symétrique montré ci-dessus, où ord(S₃) = 6, les ordres des éléments sont 1, 2 ou 3.

La réciproque partielle suivante est vraie pour les groupes finis : si d divise l'ordre d'un groupe G et d est un nombre premier, alors il existe un élément d'ordre d dans G (ceci est quelquefois appelé le théorème de Cauchy). L'énoncé n'est plus valable pour les ordres composés, e.g. le groupe de Klein n'a pas d'élément d'ordre quatre). Ceci peut être montré par une démonstration inductive [1]. Les conséquences du théorème incluent : l'ordre d'un groupe G est une puissance d'un nombre premier p si et seulement si ord(a) est une certaine puissance de p pour chaque a dans G [2].

Si a est d'ordre infini, alors toutes les puissances de a sont aussi d'ordre infini. Si a est d'ordre fini, nous avons la formule suivante pour l'ordre des puissances de a :

$ord(a^k) = ord(a) / pgcd(ord(a), k)\,$

pour chaque entier k. En particulier, a et son inverse a⁻¹ sont de même ordre.

Il n'y a pas de formule générale reliant l'ordre d'un produit ab aux ordres de a et b. En fait, il est possible que a et b soient tous deux d'ordre finis tandis que ab soit d'ordre infini, ou que a et b soit tous deux d'ordre infini tandis que ab soit d'un ordre fini. Si ab = ba, nous pouvons au moins dire que ord(ab) divise le ppcm (ord(a), ord(b)). En conséquence de quoi, on peut démontrer que dans un groupe abélien fini, si m désigne le maximum de tous les ordres des éléments du groupe, alors chaque ordre des éléments divise m.

Si G est un groupe fini d'ordre n et d est un diviseur de n, alors le nombre d'éléments dans G d'ordre d est un multiple de $\varphi(d)\,$, où $\varphi\,$ est la fonction indicatrice d'Euler, donnant le nombre d'entiers positifs inférieurs à d et premier avec lui. Par exemple, dans le cas de S₃, $\varphi(3) = 2\,$, et nous avons exactement deux éléments d'ordre 3. Le théorème ne fournit pas d'information utile à propos des éléments d'ordre 2, parce que $\varphi(2) = 1\,$.

Les homomorphismes de groupe tendent à réduire les ordres des éléments :

Si $f : G \rightarrow H\,$ est un homomorphisme, et a est un élément de G d'ordre fini, alors ord(f(a)) divise ord(a). Si f est injective, alors ord(f(a)) = ord(a). Ceci peut souvent être utilisé pour démontrer qu'il n'existe pas d'homomorphisme injectif entre deux groupes donnés. (Par exemple, il ne peut pas y avoir d'homomorphisme non trivial $h : S_3 \rightarrow \mathbb{Z}_5\,$, parce que chaque nombre sauf zéro dans $\mathbb{Z}_5\,$ est d'ordre 5, qui ne divise pas les ordres 1, 2 et 3 des éléments de $S_3\,$).

Une conséquence plus avancée : les éléments conjugués ont le même ordre. Un résultat important à propos des ordres est l'équation de classe; elle relie l'ordre d'un groupe fini G à l'ordre de son centre Z(G) et les tailles de ses classes de conjugaison non-triviales :

$|G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i\;$

où les $d_i\,$ sont les tailles des classes de conjugaison non-triviales; celles-ci sont les diviseurs propres de |G| plus grands que un, et ils sont aussi égaux aux indices de certains sous-groupes propres non-triviaux de G. Par exemple, le centre de S₃ est juste le groupe trivial avec le seul élément e, et l'équation se lit :

$|S_3| = 1+2+3\,$

Plusieurs questions profondes à propos des ordres des groupes et de leurs éléments sont contenues dans les divers problèmes de Burnside; certaines de ces questions sont encore ouvertes.

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