Ordre dense

Ensemble ordonné dense en lui-même

Un ensemble ordonné $(E,\leq)$ est dit dense en lui-même, ou plus simplement dense, si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x<y il existe un élément z de E tel que x<z<y.

Par exemple, pour les ordres usuels, l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ et l'ensemble des réels $\R$ sont denses en eux-mêmes alors que l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ne l'est pas.

Cantor a démontré que tout ensemble totalement ordonné, dénombrable et dense en lui-même sans maximum ni minimum est isomorphe^[1] à $\mathbb{Q}$ muni de l'ordre usuel. C'est notamment le cas, toujours pour l'ordre usuel, de $\mathbb{Q}^{*}$, de $\mathbb{Q}_{+}^{*}$, de $\mathbb{Q} \cap ]0,1[$ ou encore de l'ensemble des nombres réels algébriques sur $\mathbb{Q}$.

Sous-ensemble dense d'un ensemble ordonné

Définition

Un sous-ensemble X d'un ensemble ordonné $(E,\leq)$ est dit dense dans E si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x<y, il existe un élément z de X tel que x<z<y.

Par exemple, pour l'ordre usuel, $\mathbb{Q}$ est dense dans $\R$.

La notion d'ensemble ordonné dense en lui-même n'en est donc que le cas particulier où X=E.

Lien avec la topologie

Si E est un ensemble ordonné, les intervalles de la forme $]x,y[=\{z \in E|\,x<z<y\}$ forment une base d'ouverts d'une topologie appelée topologie de l'ordre.

Dans ce cas, un sous-ensemble X de E qui est dense au sens précédent de la relation d'ordre est bien dense dans E au sens de cette topologie. Cependant, la réciproque est fausse : un ensemble ordonné est toujours dense dans lui-même pour la topologie de l'ordre (comme pour n'importe quelle topologie) sans être nécessairement dense en lui-même pour sa relation d'ordre, comme le montre l'exemple de $\mathbb{Z}$ pour l'ordre usuel.

Notes

1. ↑ L'isomorphisme est ici à prendre dans la catégorie des ensembles ordonnés, c'est-à-dire qu'il existe une bijection strictement croissante entre l'ensemble considéré et l'ensemble des rationnels.